Table des matières

I. INTRODUCTION AUX PHÉNOMÈNES QUANTIQUES

1. Crise de la physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. La théorie de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Le photon. Les postulats de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. La mécanique de Bohr-Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Puits rectangulaire infiniment profond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. particule enfermée dans une boîte parallélépipédique . . . . . . . . .

c. mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. L’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Le principe d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. La quatrième relation d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. L’onde associée de De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Interprétation ondulatoire du principe d’incertitude . . . . . . . . . . .

11. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. OPÉRATEURS LINÉAIRES FONCTIONNELS

1. Définitions ; exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Opérations sur les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Opérateurs adjoints et hermétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Commutateur de deux opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Représentatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Valeurs et fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. BASES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE

1. La notion d’état dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les fonctions d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Le principe de superposition linéaire des états . . . . . . . . . . . . . . . .

4. La probabilité de présence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Les variables dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Le principe de décomposition spectrale. La valeur moyenne . . . . .

7. Variables dynamiques simultanément mesurables avec précision

8. Position et quantité de mouvement d’une particule . . . . . . . . . . . . .

a. coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. cas d’un système de plusieurs particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Relations de commutation fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Opérateurs décrivant d’autres variables dynamiques . . . . . . . . . .

11. Énergies cinétique et potentielle. Hamiltonien.
      Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Premières applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Expression quantitative du principe d’incertitude . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV. PROBLÈMES A UNE DIMENSION

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Discussion du puits ; états liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Discussion géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Étude des discontinuités de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. cas d’une discontinuité finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. cas d’une paroi parfaitement réfléchissante . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Puits symétriques et demi-puits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. L’exemple du puits rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. L’oscillateur harmonique (puits parabolique) . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Problèmes d’états non liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Cas du puits rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. L’effet Tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. la barrière rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. barrière épaisse de forme quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V. LES MÉTHODES D’APPROXIMATION

1. Le calcul des perturbations dans le cas non dégénéré . . . . . . . . . . .

2. L’exemple de l’oscillateur anharmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Le calcul des perturbations dans le cas dégénéré . . . . . . . . . . . . . .

4. La méthode des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Fondement de la méthode L. C. A. O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI. LES MOMENTS CINÉTIQUES

1. Quantification du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. La base f (a, J, M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les moments orbitaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. cas d’une seule particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. cas d’un système de plusieurs particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. moment orbital et énergie cinétique d’une particule . . . . . . . . . . .

4. Les fonctions sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Propriétés des fonctions sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Le rotateur linéaire rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Spin d’une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Composition de deux moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Les rotations infinitésimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Niveaux d’un atome libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII. MOUVEMENT D’UNE PARTICULE
DANS UN CHAMP CENTRAL

1. Résolution de l’équation de Schrödinger du problème . . . . . . . . . .

2. Discussion des niveaux d’un puits de potentiel à rayon d’action fini

3. L’atome hydrogénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Théorie approchée des atomes alcalins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Structure fine des niveaux des atomes alcalins . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Le puits rectangulaire infiniment profond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. La correction d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIII. PROBLÈMES D’ÉVOLUTION DANS LE TEMPS

1. L’équation d’évolution de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Équation d’évolution des valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Équation d’évolution des représentatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Le calcul des perturbations dans les problèmes d’évolution . . . . . .

6. La règle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Cas d’une perturbation fonction aléatoire stationnaire du temps . . .

8. Atome plongé dans le rayonnement isotherme. Transitions induites

9. Les transitions spontanées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. condition de validité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. cas des niveaux dégénérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Perturbation fonction sinusoïdale du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Formule du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX. SYSTÈMES DE PARTICULES IDENTIQUES

1. Bosons et fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Cas   des fermions. Déterminant de Slater. Principe de Pauli . . . . .

3. Système de deux électrons (sans couplage spin orbite) . . . . . . . . . .

4. Les niveaux de l’atome d’hélium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. configuration fondamentale (1 s)² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. configuration excitée (1 s) (2 s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X. DIFFUSION PAR UN CENTRE DE FORCES

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Lemme mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. L’approximation de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Étude de l’équation de Schrödinger en coordonnées sphériques . . .

5. Calcul de f (q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Cas limite des très faibles vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI. FORMALISME DE DIRAC ET COMPLÉMENTS

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Vecteurs droits et gauches. Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Produit ket-bra. Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Représentatives et changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Fonction d’opérateur (hermétique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Produit direct ou tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Espaces à une infinité continue de dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Mécanique de la particule sans spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Rotation des états. Opérateurs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . .

10. Représentative des scalaires et des vecteurs en base |a, J, M>

a. opérateur scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. opérateur vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Application aux fonctions sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. La formule de Landé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Appendice A

Les polynômes de Laguerre généralisés : application à la résolution
de l'équation de Schrôdinger d'un atome hydrogénoïde

1. Les polynômes de Laguerre généralisés
    (méthode de la fonction génératrice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les polynômes Lp(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Résolution de l’équation de Schrödinger d’un atome hydrogénoïde

Appendice B

Notions sur la théorie des fonctions aléatoires

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Fonctions aléatoires stationnaires, ergodiques . . . . . . . . . . . . . . . .

3. La fonction de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. La densité spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Effet d’un opérateur filtre sur une fonction aléatoire . . . . . . . . . . . .

CORRECTION DES EXERCICES

Chapitre I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre XI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BIBLIOGRAPHIE GÉNÉRALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDEX ALPHABÉTIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

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64

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98

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186

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312

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329

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344