Avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Bernard Grégory et l'enseignement à l'École Polytechnique .
. . . . .
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Figures hors-texte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Table de valeurs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
I. PHÉNOMÈNES QUANTIQUES
1. Diffraction des
rayons X et des électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Expérience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Désintégration d’un système instable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Résumé de quelques idées importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. MÉCANIQUE
ONDULATOIRE I: FONCTION D'ONDE,
ÉQUATION DE SCHRÖDINGER
Description physique d’une particule: fonction d’onde
1. Fonction d’onde . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Mesure de la position de la particule . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
3. Ondes de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
4. Paquets d’ondes (particules
libres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Loi de probabilité des
impulsions,
relations d’incertitude de Heisenberg . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
6. Exemple : le paquet d’ondes Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
7. Calcul des phénomènes d’interférences et de diffraction . . . . .
. . . . .
Équation du mouvement ; Équation de Schrödinger
1. Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2. Paquet d’onde pour une particule dans un potentiel :
relations
d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
3. Premières applications : Franchissement de barrières de potentiel
III. MÉCANIQUE ONDULATOIRE II :
GRANDEURS PHYSIQUES ;
MESURE
1. Considérations générales . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Grandeurs physiques, observables
et opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Opérateur associé à
l’impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Commutation des observables . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Autres observables; principe de
correspondance . . . . . . . . . . . . . . .
6. Fonctions propres et valeurs
propres d’une observable . . . . . . . . . .
7. Fonctions propres de l’énergie
- États stationnaires . . . . . . . . . . . . .
8. Courant de probabilité . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Problème de la mesure.
Cohérence
de la mécanique quantique . . . . .
Résumé des Chapitres II et III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
IV.
QUANTIFICATION DES ÉNERGIES
DE QUELQUES SYSTÈMES SIMPLES
1. Généralités . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Oscillateur harmonique à une
dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Puits de potentiel carré . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Particule dans une boîte . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Puits double. Modèle de la molécule
d’ammoniac . . . . . . . . . . . . . .
6. Généralisations du puits double.
Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . .
V. ESPACE DE
HILBERT, FORMALISME DE DIRAC.
POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
1. Espace de Hilbert . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
2. Représentations matricielles . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Résultats possibles de la mesure
d’une grandeur . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Postulats de la Mécanique
Quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Représentations dans des bases
particulières. Fonction d’onde . . . .
6. Structure de l’espace de Hilbert
- Produits tensoriels d’espaces . . .
VI. SYSTÈME
À DEUX ÉTATS.
PRINCIPE DU MASER À AMMONIAC
1. Espace de Hilbert à deux
dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Système à deux niveaux d’énergie:
retour sur le modèle
de molécule d’ammoniac . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Molécule NH3 dans un
champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Champ oscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
5. Principe et applications du Maser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
6. Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
VII.
COMMUTATION DES OBSERVABLES
1. Relations de commutation . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Relations d’incertitude . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Évolution dans le temps de la
valeur moyenne d’une observable :
Théorème d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Observables qui commutent . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Une nouvelle méthode de résolution
de l’oscillateur harmonique,
opérateurs de création et d’annihilation . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.
MÉTHODES D’APPROXIMATION
1. Méthode des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
2. Méthode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
IX. LE MOMENT
CINÉTIQUE EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
1. Moment cinétique
orbital d’une particule, relations de commutation
2. Valeurs propres d’une observable
J telle que J x J = i h J . . . . . . . .
3. Valeurs propres et fonctions
propres du moment cinétique orbital
4. Relation fondamentale entre moment
cinétique
et moment magnétique
d’un système quantique . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Vérification expérimentale ;
Existence de
moments cinétiques demi-entiers . . . . . . . . . . . . . . . . .
X.
PREMIÈRE DESCRIPTION DES ATOMES
1. Système à deux corps. Mouvement relatif . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
2. Électron (sans spin) dans un potentiel central.
Nombres quantiques. Dégénérescences . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. L’atome d’hydrogène (sans
spin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Atomes hydrogénoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
5. Spectre des alcalins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
XI. FORMALISME
DU SPIN ½. RÉSONANCE MAGNÉTIQUE
1. Espace de Hilbert du spin
½ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Description complète d’une
particule de spin ½
(variables
d’espace et de spin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
3. Moment
magnétique ; Expérience de
Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . .
4. Cas particulier : Variables
d’espace et de spin non corrélées . . . . . .
5. Résonance magnétique . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XII.
LAGRANGIEN ET HAMILTONIEN ;
FORCE DE LORENTZ EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
1. Formalisme Lagrangien,
Principe de
moindre action en Mécanique Classique . . . . . . . . . . . .
2. Formalisme "
canonique " de
Hamilton et Jacobi . . . . . . . . . . . . . . .
3. Lien entre Mécanique Analytique
et Mécanique Quantique.
Règles de
Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
4. Particule chargée dans un champ
électromagnétique . . . . . . . . . . . . .
5. Force de Lorentz en Mécanique
Quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Hamiltonien d’une particule de
spin ½
dans un champ
électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XIII. ADDITION
DES MOMENTS CINÉTIQUES,
STRUCTURE FINE ET HYPERFINE DES RAIES ATOMIQUES
1.
Addition des moments cinétiques : Moment cinétique total . . . . . . . .
2. Structure fine des atomes monovalents . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
3. Structure hyperfine ; Raie de 21 cm de l’Hydrogène . . . . . . . . .
. . . .
XIV.
SYSTÈMES DE PARTICULES IDENTIQUES.
PRINCIPE DE PAULI
1. L’indiscernabilité de deux
particules identiques . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Système de 2
particules ; Opérateur
d’échange . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Principe de Pauli généralisé .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Atomes complexes et couches
atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XV.
ÉVOLUTION DES SYSTÈMES
1. Probabilité de transition d’un
système ;
Perturbations dépendant du temps . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
2. Interaction Électromagnétique
des Atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Perturbation
constante ; désintégration
d’un système :
durée de vie, largeur . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Relation d’incertitude
temps-énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XVI. PHYSIQUE
QUALITATIVE :
ORDRES DE GRANDEUR DE QUELQUES
PHÉNOMÈNES MICROSCOPIQUES ET MACROSCOPIQUES
1. Particule confinée : énergie de l’état fondamental . . . . . . .
. . . . . . . .
2. Propriétés des matériaux ; Retour sur les objets célestes . . . . .
. . . .
3. Catastrophe gravitationnelle ; étoile à neutrons . . . . . . . . . . .
. . . . . .
XVII.
INVARIANCES, LOIS DE CONSERVATION
1. Opérateurs unitaires ; Transformations unitaires . . . . . . . . . .
. . . . . .
2. Déplacement dans le temps . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Translation dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
4. L’observable L et les rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
5. Symétries de l'Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
XVIII. PREMIÈRES NOTIONS DE
PHYSIQUE NUCLÉAIRE ;
STRUCTURE EN COUCHES DES NOYAUX ATOMIQUES
1. Introduction . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Énergies de liaison et rayons
des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Indications expérimentales de la
structure en couches des noyaux
4. Potentiel nucléaire moyen . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. L’oscillateur harmonique à
trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Le modèle en couches du noyau . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Détermination du paramètre de
l’oscillateur harmonique . . . . . . . . .
8. Le potentiel spin-orbite . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Prédictions du modèle des
couches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XIX. MÉCANIQUE QUANTIQUE ET ASTROPHYSIQUE
1. Masse minimum d’une étoile .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Les masers cosmiques . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. La raie à 2l cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
XX.
HISTORIQUE DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
1. L’origine des concepts
quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Le spectre atomique . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Le spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
4. La mécanique quantique
matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. La mécanique ondulatoire . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. L’interprétation probabiliste .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Quelques repères dans
l’histoire récente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
COMPLÉMENTS MATHÉMATIQUES
1.
Notions utiles de probabilités . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Espaces probabilisés, lois de
probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Exemples élémentaires de lois de
probabilités . . . . . . . . . . . . . . .
c. Lois de probabilités sur R ou
Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Variables aléatoires.
Loi
d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . .
e. Probabilités conditionnelles . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Indépendance de variables
aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g. Suites de Bernouilli.
Loi binômiale. Marches aléatoires . . . . . . . .
h. Approximation normale de la loi
binômiale . . . . . . . . . . . . . . . . .
i. Valeur moyenne ou espérance
mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . .
j. Moments et
variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
k. Sommes de variables aléatoires
indépendantes
et loi faible des
grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l. Vérification expérimentale
d’une loi de probabilité . . . . . . . . . . . .
2.
" Fonction " d. Distributions,
transformations de Fourier . . . . . . . . .
a.
Distribution de Dirac ou " fonction
" d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
c.
Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Espace de Hilbert .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Vecteurs
et opérateurs de l'espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Valeurs propres. Spectre. Observables . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
c. Représentations par des matrices. Fonctions d'ondes .
. . . . . . . . .
d. Produits
tensoriels d'espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Fonctions spéciales. Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
a
. Polynôme de Hermite.
Fonctions propres de l'oscillateur harmonique . .
. . . . . . . . . . . . .
b.
Coordonnées sphériques ; Harmoniques sphériques . . . . . . . . . . .
c.
Polynôme de Laguerre ; Fonctions propres de l'atome d'hydrogène
EXERCICES ET PROBLÈMES DE MÉCANIQUE QUANTIQUE
EXERCICES DE MÉCANIQUE QUANTIQUE
1. Probabilités, transformations de Fourier . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
2. Ordres de grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
3. Physique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
4. Systèmes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
5. Formalisme de Dirac ; algèbre des observables ;
systèmes à 2 états
6. Moment cinétique, spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
7. Mouvement dans un potentiel central . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
8. Interactions magnétiques, addition des moments
cinétiques . . . . . . . .
PROBLÈMES DE MÉCANIQUE QUANTIQUE
1. Centres colorés dans les cristaux ioniques . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
2. Analyse d'une expérience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
3. Formation de l'hydrogène moléculaire interstellaire . . . . . . . .
. . . . .
4. Induction du principe de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
5. Rotation d'un spin ½ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
6. La méthode de rotation de spin des muons positifs . . . . . . . . .
. . . . .
7. Perte d'énergie d'une particule ionisée passant dans la matière . . .
. .
8. Mécanique quantique, variables cachées et inégalités de Bell . . .
. .
9. Ions moléculaires colorés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
10.
Mesures spectroscopiques sur un jet de neutrons . . . . . . . . . . . . .
.
