Table des matières

Glossaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  Première partie :
CINÉMATIQUE

1. Rappels de mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Dérivation d’une fonction vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Dérivation composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Propriétés du vecteur W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION A : un presque rien capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Système de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Position d’un point dans un espace à la date t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Vitesse d’un point mobile par rapport à un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Accélération d’un point mobile par rapport à un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Méthode de calcul particulière... et habituelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Formule cinématique de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION B : un radar dans le nez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Changement de système de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Champ des vitesses des points d’un espace e₂ en mouvement
      par rapport à un espace e₁. Torseur cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Torseur cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Torseurs extraits du torseur cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D'ILLUSTRATION C : ne perdons pas le nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Champ des accélérations des points d’un espace e₂
      en mouvement par rapport à un espace e₁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Composition des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Point coïncident . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D'ILLUSTRATION D : un appareil saisissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Cinématique des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Le solide de la cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Liaisons entre solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Quelques liaisons géométriques usuelles entre deux solides . . . . . . . . . . . . .

d. Cinématique du contact ponctuel de deux solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION E : une large plage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14. En résumé : ce qu’il faut absolument savoir en cinématique . . . . . . . . . . . . . . .

PROBLÈMES DE CINÉMATIQUE

Les énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quelques résultats, pour contrôler votre travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   Deuxième partie :
CINÉTIQUE

I. CAS GÉNÉRAL: SYSTÈME MATÉRIEL S A MASSE CONSERVATIVE

1. Rappels de mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Système matériel à masse conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Dernier petit rappel de mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Torseur à structure {c} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Produit (ou comoment) d’un torseur à structure {c}
    et d’un torseur quelconque {W} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Torseur cinétique de S dans le mouvement par rapport à un repère S(T, ε) . . . .

6. Torseur dynamique de S dans le mouvement par rapport à un repère S(T,ε) . . .

7. Relations entre les éléments de réduction des torseurs cinétique et dynamique

8. Énergie cinétique de Σ dans le mouvement par rapport à un repère S(T, ε) . . . .

9. Pour mémoire : les théorèmes de König . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. CAS PARTICULIER : SOLIDE MATÉRIEL S

1. Solide matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Opérateur d’inertie de S en un point quelconque Q_s
    de l’espace ε_s attaché à ce solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION A : pales masquées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Calcul du moment cinétique et du moment dynamique d’un solide . . . . . . . . . . .

4. Calcul de l’énergie cinétique d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION B : celui-ci manutentionne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. En résumé : ce qu’il faut absolument savoir en cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PROBLÈMES DE CINÉTIQUE

Les énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quelques résultats, pour vérifier votre besogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Troisième partie :
DYNAMIQUE

I. AXIOMATIQUE DE LA DYNAMIQUE DES SYSTÈMES
A MASSE CONSERVATIVE

1. Actions mécaniques ou efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Principes fondamentaux de la dynamique des systèmes à masse conservative

3. Conséquences : les théorèmes de la dynamique des systèmes
    à masse conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Opposition des actions de contact réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Les théorèmes utilisés dans les mises en équations des études dynamiques

4. Équation intégrale première du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. En résumé : ce qu’il faut absolument savoir de l’axiomatique des systèmes S

II. THÉORÈME GÉNÉRAL DE LA DYNAMIQUE DES SYSTÈMES
A MASSE CONSERVATIVE.
LOIS D'ACTIONS DE CONTACT ENTRE SOLIDES

1. Torseurs associés aux efforts extérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Théorème général de la dynamique des systèmes : à masse conservative . . . . .

3. Utilisation pratique du théorème général de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION A : bozo-bozo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Quelques intégrales premières déduites du théorème général de la dynamique

5. Lois d’actions en contact entre solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Solides en contact ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION B : la boule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Solides en contact non ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION C : celui-là soude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Emploi d’un référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION D : riant petit canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. En résumé : ce qu’il faut absolument savoir pour utiliser le TGD . . . . . . . . . . .

PROBLÈMES DE DYNAMIQUE : utilisation du TGD

Les énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quelques résultats, pour aiguillonner votre labeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. PUISSANCE. COEFFICIENTS ÉNERGÉTIQUES.
ÉNERGIE POTENTIELLE ET FONCTION DE FORCE.
LIAISON GÉOMÉTRIQUE PARFAITE

1. Puissance d’efforts extérieurs sur un système matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Cas général des systèmes matériels à masse conservative. . .  . . . . . . . . . . . .

b. Cas particulier des systèmes de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Coefficients énergétiques associés à des efforts extérieurs,
    pour un système de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Pour un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Pour un ensemble fini de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Travail d’efforts extérieurs sur un système matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Puissance des efforts réciproques (ou inter-efforts)
    entre deux systèmes matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Cas général des systèmes matériels à masse conservative . . . . . . . . . . . . . . .

b. Cas particulier des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Coefficients énergétiques associés à des efforts réciproques
    (ou inter-efforts) entre solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION A : la grue et les grumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Énergie potentielle et fonction de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Cas général des systèmes matériels à masse conservative . . . . . . . . . . . . . . .

b. Cas particulier (important) des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Liaison géométrique parfaite entre deux solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION B : l’anti-rebond De Deuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. En résumé : ce qu’il faut absolument retenir de cette avalanche de définitions

IV. THÉORÈME DE L'ÉNERGIE CINÉTIQUE
POUR UN ENSEMBLE FINI DE SOLIDES

1. Théorème de l’énergie cinétique dans le mouvement
    par rapport à un repère galiléen Sg(T, ε_g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION A : Hoquet-transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION B : bien venue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Intégrale première de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Théorème de l’énergie cinétique dans le mouvement
    par rapport à un repère quelconque S(T, e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. En résumé : ce qu’il faut absolument savoir pour utiliser le TEC . . . . . . . . . . . .

V. ÉQUATIONS DE LAGRANGE ET AUTRES THÉORÈMES
ÉNERGÉTIQUES, POUR UN ENSEMBLE FINI DE SOLIDES

1. Équations de Lagrange dans le mouvement par rapport
    à un repère galiléen S_g(T, ε_g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Pour un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Pour un ensemble fini de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Cas particulier: équations de Lagrange écrites en fonction du Lagrangien . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION A : un accéléromètre étanche . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Correspondance entre les équations de Lagrange et les
    équations tirées du théorème général de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f. Intégrales premières déduites des équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION B : l’inlassable manipulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Équations de Lagrange dans le mouvement
    par rapport à un repère quelconque S(T, ε) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Équation de Jennie Ramonel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Équation de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION C : avant-train . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. En résumé : ce qu’il faut absolument savoir
    pour utiliser les théorèmes énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PROBLÈMES DE DYNAMIQUE : utilisation des théorèmes
énergétiques (TEC - Lagrange - JR - Painlevé)

Les énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quelques résultats, pour conforter votre moral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI. ÉQUILIBRE ET PETITS MOUVEMENTS AUTOUR
D’UN ÉQUILIBRE, POUR UN ENSEMBLE FINI DE SOLIDES.
MOUVEMENT STATIONNAIRE ET MOUVEMENTS VOISINS
D’UN STATIONNAIRE, POUR UN ENSEMBLE FINI DE SOLIDES

1. Équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Détermination des équilibres paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Cas général: Utilisation explicite des équations de mouvement de S . . . . . . .

b. Cas particulier : Écriture directe des équations d’équilibre
    quand Σ/S_g(T, ε_g) dépend uniquement de (q₁, … ,q_n) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Stabilité d’un équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Théorème de Lejeune - Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION A : bidouillesque mais profitable . . . . . . . . . . . . . . .

c. Étude de la stabilité par l’intermédiaire du système linéaire associé . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION B : Poggendorff, deuxième reprise . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION C : Météosat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Exemples simples de systèmes d’équations différentielles linéaires du second
    ordre à coefficients constants, à second membre nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Système avec couplage d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Système avec couplage de rigidité (ou de raideur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Système avec couplage gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION D : rendez-moi mon assiette . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Vibrations linéaires forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION E : les oeufs à la neige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUSE D’ILLUSTRATION F : les Dupond/t rugissant dans les 40° . . . . . . . . . . .

6. Mouvements stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. En résumé ce qu'il faut absolument savoir pour étudier
    la stabilité d’un équilibre ou d’un mouvement stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . .

PROBLÈMES DE DYNAMIQUE :
équilibres et mouvements stationnaires

Les énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quelques résultats, pour titiller votre gestation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quatrième partie :
ANNEXE COMPOSITE

I. Approche de la mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Distillat de torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. Présentation classique des équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV. Précis d’équilibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V. Mouvements à paramètre principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Index alphabétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiii

2

2

2

3

3

5

6

8

8

8

9

9

10

14

17

  
19

19

19

22

  
24

24

24

25

26

29

32

32

32

33

34

38

42

45

50

55

56

57

58

58

 
58

59

59

60

61

61

63

  
63

68

70

78

84

88

91

99

107

109

 
110

110

110

112

112

113

116

119

124

128

129

129

130

133

138

142

148

151

153

167

183

183

184

 
184

184

185

188

188

 
189

189

190

 
191

192

195

195

199

205

211

216

 
219 

227

231

232

 
234

239

  
241

241

241

249

253

 
260

260

261

 
265

269

271

276

 
281

284

316

341

342

342

 
347

349

349

349

351

354

360

365

 
369

369

371

373

376

379

383

390

398

 
405

410

437

468

473

475

481

486

498

505