I. L'ÉQUATION DE LAGRANGE1. Énergies cinétique et potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Théorème des forces vives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Coordonnée et moment généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Moment canoniquement conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Les forces généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. L’équation de Lagrange généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. L’équation de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. L’équation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Mouvement oscillatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Nombre de degrés de liberté d’un solide . . . . . . . . . . . . . b. L’oscillateur harmonique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Le pendule double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Le pendule sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Mouvement d’Euler - Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f. Les symboles de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g. Le pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. LES ÉQUATIONS CANONIQUES1. L’énergie cinétique généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. La fonction de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Espaces de configuration et des phases . . . . . . . . . . . . . . . . 4. La transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. L’équation du plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Les équations de la transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Les fonctions thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Relation entre fonctions de Lagrange et de Hamilton . . . 5. L’énergie potentielle généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. L’hamiltonien magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Le potentiel généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Moment généralisé associé à une rotation . . . . . . . . . . . . c. Énergie cinétique généralisée d’une tige . . . . . . . . . . . . . d. Généralisation de l’équation de Lagrange aux collisions e. Étude du mouvement d’une toupie symétrique . . . . . . . . . f. Écriture covariante des équations de l’électromagnétisme g. Structure symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. LES LIAISONS ET LES FROTTEMENTS1. Classifications des liaisons géométriques . . . . . . . . . . . . . . a. La liaison d’encastrement ou fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. La liaison pivot. rotoïde ou cylindrique . . . . . . . . . . . . . c. La liaison glissière ou prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . d. La liaison hélicoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. La liaison verrou ou pivot glissant . . . . . . . . . . . . . . . . . f. La liaison sphérique ou rotule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g. La liaison appui-plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h. La liaison sphère-cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i. La liaison arête-plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j. La liaison ponctuelle ou sphère-plan . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Étude analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Liaisons holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Liaisons scléronome et rhéonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Autres définitions de liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. La méthode du système libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Les systèmes dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Les frottements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. La fonction de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Les multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Le pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. La statistique de Maxwell Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . 5. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Chute des corps avec frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Contrainte de roulement d’une sphère . . . . . . . . . . . . . . . c. Réaction d’un cerceau sur une particule . . . . . . . . . . . . . d. Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Distributions statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV. LA MÉCANIQUE VARIATIONNELLE1. Le théorème d’Euler - Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Géodésique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Principe variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définition de l’action de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Principe de Lagrange-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Les équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Le principe de moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Le principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Le chemin optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. La mécanique des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Optique géométrique et principe variationnel . . . . . . . . . 7. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Lois de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Lentille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Courbe fermée entourant la plus grande surface possible d. Particule libre relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Généralisation de l’équation d’Euler - Lagrange . . . . . . . f. Chute des corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g. Courbe brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h. Géodésique d’une surface sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . i. Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V. LA SYMÉTRISATION DE L'ESPACE DES PHASES1. Transformation canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. La transformation identique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. L’échange des coordonnées et des moments . . . . . . . . . . c. L’oscillateur harmonique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Familles de fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Les crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Déterminant fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Invariance des crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Transformation de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Le temps considéré comme variable canonique . . . . . . . . b. Fonction génératrice d’une rotation infinitésimale . . . . . c. Le principe d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Crochets de Poisson et oscillateur linéaire . . . . . . . . . . . e. Fonctions génératrices simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f. Identité de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g. Théorème de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h. Fonction génératrice d’un oscillateur linéaire . . . . . . . . . i. Oscillateur forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j. Seconde quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k. Opérateur de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l. Transformation de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m. Forces centrales et crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . n. Groupe des transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . o. Transformation de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI. LA MÉCANIQUE DE JACOBI1. L’équation de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. La fonction de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Les coordonnées cycliques ou cachées . . . . . . . . . . . . . . b. Les équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Variable d’action et variable angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . a. Les variables angulaires Wk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Les variables d’action Jk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Invariance des Jk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. L’oscillateur harmonique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. La méthode de résolution de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. L’oscillateur harmonique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Problème inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Équation de Jacobi b. Fonction de Routh d’une toupie symétrique . . . . . . . . . . . c. Mouvement d’Euler - Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Oscillateur linéaire dont l’énergie varie dans le temps
VII. L'ANCIENNE THÉORIE DES QUANTA1. Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Les postulats de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Premier postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Deuxième postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Troisième postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Les règles de quantification de Wilson-Sommerfeld . . . . . . 4. Les défauts de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. L’atome hydrogénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Le modèle atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Le lagrangien du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Repère de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Le mouvement du centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Le mouvement de l’électron autour du noyau . . . . . . . . . . 6. Les lignes spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Particule dans une boîte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Réacteur nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII. DESCRIPTION DES CHAMPS1. Les équations de Lagrange pour un milieu continu . . . . . . . a. Densité lagrangienne non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . b. Les équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Dérivées fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Étude des oscillations longitudinales d’une tige . . . . . . . . . 3. Vitesse de propagation du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. L’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Le champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Le théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Le lagrangien électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Vibrations transversales d’une corde tendue . . . . . . . . . . b. Retour sur les dérivées fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . c. Équation de contrainte en électromagnétisme . . . . . . . . . d. Champs relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Champs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX. Théorème de Noether1. Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Invariant du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Théorème de Noether pour les champs . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Principe d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Isotropie de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Translation quadridimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BIBLIOGRAPHIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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