Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
Avant-propos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
I.
LE MOUVEMENT ET SES REPRÉSENTATIONS
1.
Description par trajectoires et lignes d’émission
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Première notion. Les applications
P (t’, t)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Définition précise du mouvement . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Représentation analytique . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Trajectoires. Lignes d’émission. Champs des vitesses
et des accélérations.
Lignes de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Autre représentation analytique . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Mouvements stationnaires ou permanents . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
2.
Description Lagrangienne. (Description par trajectoires) . . . . . . . . .
.
3.
Description Eulérienne. (Description par champ de vitesses)
. . . . . . .
II.
DÉFORMATIONS
1.
Mouvement de déformation homogène. Description Lagrangienne . . . .
a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Transport convectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c. Propriétés métriques . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Transformation réciproque . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Interprétation géométrique . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Description Eulérienne d’un mouvement de déformation homogène
a. Transport convectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
b. Propriétés métriques . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Déformation d’un milieu continu . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. La transformation linéaire tangente en description lagrangienne
. . . .
b. La différentielle du champ des vitesses en
description eulérienne
c. Grandeurs objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
4.
Calcul des dérivés particulaires . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Fonction de point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
b. Intégrale de volume . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Intégrale de surface (flux) . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Intégrale de ligne (circulation) . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Dérivation suivant un champ de vitesse arbitraire
. . . . . . . . . . . . . .
f. Cas où les fonctions sont continûment
dérivables par morceaux . . . .
5.
Notations et rappels relatifs aux tenseurs. (Appendice) . . . . . . . . .
. . .
a. Tenseurs du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
b. Tenseurs d’ordre supérieur . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
d.
Pseudo-scalaires. Pseudo-tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
e. Champs des tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
f. Formules de Green et de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
III.
LA REPRÉSENTATION DES EFFORTS
ET LES ÉNONCÉS FONDAMENTAUX DE LA MÉCANIQUE
ÉNONCÉS
FONDAMENTAUX
1.
Système d’un nombre fini de points matériels. (Système discret) . . .
. .
a. Les lois de Newton (Rappel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b. Nouvelle formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2.
Schématisation des efforts par le concept de puissance virtuelle . . . .
.
a. Mouvement virtuel d’un système . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Puissance virtuelle des efforts exercés par un système
S sur
un système S . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Caractère naturel de la notion de mouvement virtuel
. . . . . . . . . . . .
d. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
3.
Masse. Conservation de la masse. Définitions de cinétique
. . . . . . . . .
a. Notion de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
b. Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
c. Rappel des définitions de cinétique . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Énoncés de la statique et de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
a. Énoncé des puissances virtuelles . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Loi fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c. Théorème des actions mutuelles . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Équivalence entre loi fondamentale et énoncé des puissances
virtuelles pour les
mouvements virtuels
rigidifiant un fractionnement
d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Deux théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Traduction des énoncés dans un référentiel non galiléen . . .
. . . . . . .
g. Systèmes subissant des chocs . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h. Rappel des théorèmes généraux de la mécanique
. . . . . . . . . . . . . . .
i. Rappel des calculs de cinétique d’un corps rigide
. . . . . . . . . . . . . .
j. Repérage d’un corps rigide . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APPLICATION
À DES QUESTIONS DE STATIQUE
5.
Statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
a. Équation de l’équilibre. Interprétation de la pression
. . . . . . . . . . . .
b. Généralités sur les problèmes d’hydrostatique
. . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
d. Théorème d’Archimède . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Fluides compressibles en équilibre . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Applications techniques de l’hydrostatique . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
6.
Milieux curvilignes en équilibre-barres-poutres-arcs
. . . . . . . . . . . . .
a. Équations générales . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Arcs en équilibre sous l’action d’efforts exercés sur
les sections terminales
seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Systèmes de barres articulées travaillant en traction
ou compression (treillis)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Poutres droites chargées normalement.
(Poutres en flexion) . . . . . . .
e. Arcs plans chargés dans leur plan par des forces concentrées.
Portiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.
Équations d’équilibre des plaques et des coques
en théorie micro polaire . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES DE CORPS RIGIDES
1.
Description géométrique et cinématique d’un système de corps rigides
a. Paramétrage d’un système. Liaisons.
Variété d’étude des
configurations d’un système . . . . . . . . . . . . . . .
b. Liaisons complémentaires pour un paramétrage .
. . . . . . . . . . . . . . .
c. Champ des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
d. Liaisons indépendantes du temps . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Ensembles de mouvements virtuels pour l’étude d’un système discret
a. Espace des mouvements virtuels figés associés à un paramétrage
b. Mouvements virtuels figés compatibles . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Loi de comportement des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
a. Présentation générale de la loi de comportement
des liaisons parfaites
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Application aux liaisons usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
c. Réalisation de liaisons parfaites
par un mécanisme intermédiaire
de corps rigides . . . . . . . . . . . . . . .
d. Liaisons parfaites assurées par des dispositifs
dynamiquement réguliers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Liaisons réalisées par un mécanisme intermédiaire
comportant un système ou un
milieu déformable . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Loi de comportement de Coulomb
pour des liaisons non parfaites
4.
Statique et dynamique des systèmes de corps rigides
à liaisons parfaites . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Efforts donnés . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Quantités de mouvement. Quantités d’accélération
. . . . . . . . . . . . . .
c. Systèmes à liaisons parfaites décrits par
un paramétrage complet
d. Systèmes à liaisons parfaites et bilatérales .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Intégrale première de l’énergie cinétique.
Intégrale de Painlevé . . .
f. Étude de l’équilibre . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g. Cas où certaines liaisons sont unilatérales . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
h. Remarques sur la mise en équations des systèmes
soumis à des liaisons actives
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i. Équations de Lagrange pour les phénomènes de choc . . . . . .
. . . . . .
5.
Applications classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
a. Problèmes de statique . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Mouvement sans frottement d’un solide de révolution autour d’un
point fixe de son
axe sous l’action de la seule pesanteur
(problème de Lagrange - Poisson) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c. Utilisation de multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
d. Difficulté inhérente à la méthode des équations de Lagrange.
Utilisation d’une description
eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.
Dynamique des systèmes à grand nombre de composants
. . . . . . . . . . .
a. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Description cinématique d’une articulation . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Propriétés du graphe formé par des constituants
. . . . . . . . . . . . . . . .
d. Mise en équations . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.
La mécanique analytique et les systèmes dynamiques
. . . . . . . . . . . . . .
a. Formalisme lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
b. Formalisme hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
c. Variables cycliques ou ignorables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
d. Cas élémentaire d’intégrabilité. Étude qualitative des
mouvements
e. Intégration par séparation des variables . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Théorème de Noether . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g. Premier écoulement associé à un
hamiltonien. Crochets de Poisson
h. Deuxième écoulement associé à un hamiltonien.
Changements de variables
canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i. Méthodes d’intégration de Jacobi . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
j. Indications sur les propriétés variationnelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
k. Notions qualitatives sur les trajectoires
des systèmes
dynamiques
V.
MILIEUX CONTINUS DONT LE COMPORTEMENT
EST DÉTERMINÉ PAR DES LIAISONS INTERNES PARFAITES
FILS
PARFAITEMENT FLEXIBLES ET INEXTENSIBLES
1.
Équations générales de la théorie des fils
parfaitement flexibles et inextensibles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Définition de la liaison interne. Tension . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Équations générales de la mécanique des fils
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Résultats généraux sur les problèmes d’équilibre
. . . . . . . . . . . . . . . .
a. Équations générales. Conditions aux limites .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Intégrales premières . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Problèmes classiques d’équilibre de fils . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Figure d’équilibre d’un fil homogène pesant
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Figure d’équilibre d’un câble de pont suspendu
. . . . . . . . . . . . . . . .
c. Fil soumis uniquement à des forces concentrées
. . . . . . . . . . . . . . . .
d. Fil pesant reposant sans frottement sur des corps rigides . . .
. . . . . .
e. Fil de masse négligeable en contact avec un cylindre
le long d’une section droite
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
FLUIDES
PARFAITS INCOMPRESSIBLES
4.
Équations générales du mouvement des fluides
parfaits incompressibles . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Définition de la liaison interne. Pression . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Équations générales des fluides parfaits incompressibles . . .
. . . . .
5.
Théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Théorème de la quantité de mouvement
ou théorème d’Euler . . . . . .
b. Théorèmes de Bernoulli . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Théorèmes sur la rotation et la circulation . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.
Écoulements plans irrotationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
a. Généralités. Exemples élémentaires . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Superposition d’écoulements élémentaires . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Bijections conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
d. Méthode de l’hodographe. Jets et cavités en écoulement
plan . . . . .
e. Efforts exercés par les écoulements stationnaires.
Intégrales de Blasius
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.
Écoulements irrotationnels de révolution . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.
Écoulements irrotationnels tridimensionnels . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a. Écoulement (non stationnaire) engendré par le mouvement
d’une boule au sein d’un
fluide parfait incompressible
au repos à grande distance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Écoulement irrotationnel d’un fluide
remplissant une cavité sphérique
en mouvement . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.
Notions sur l’évolution des écoulements rotationnels
. . . . . . . . . . . . . .
a. Le transport de la rotation et ses conséquences
. . . . . . . . . . . . . . . .
b. Calculs d’un écoulement rotationnel . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Cas particulier des mouvements plans . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
d. Cas particulier des mouvements de révolution . .
. . . . . . . . . . . . . . .
e. Vitesses induites par une ligne tourbillon . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
f. Surfaces tourbillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
g. Théorème de Kelvin . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h. Origine, évolution et stabilité des écoulements rotationnels
. . . . . . .
Images
d’écoulements d’un fluide incompressible . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
VI.
STATIQUE ET DYNAMIQUE D'UN MILIEU CONTINU.
CONTRAINTES
1.
La méthodes des puissances virtuelles en mécanique
des milieux continus. (Description eulérienne)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Puissance virtuelle des efforts intérieurs . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Puissance virtuelle des efforts extérieurs . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Puissance virtuelle des quantités d’accélération
. . . . . . . . . . . . . . . .
d. Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Conditions à la frontière ∂S de S . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Résumé des résultats . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g. Dualité en statique des milieux continus . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
h. Objectivité du tenseur des contraintes . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
i. Puissance virtuelle des efforts intérieurs dans le cas
où le champ des vitesses
virtuelles est discontinu . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Propriétés locales du tenseur des contraintes . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Forme quadratique et forme bilinéaire associées
. . . . . . . . . . . . . . .
b. Changement de base. Changement de référentiel .
. . . . . . . . . . . . . .
c. Directions principales. Contraintes normales principales.
Invariants. Déviateur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Cercles de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
e. Exemples remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
3.
Équations de la mécanique des milieux continus
en variables lagrangiennes . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Méthode des puissances virtuelles. Équations du mouvement
. . . . .
b. Nouvelle représentation des contraintes . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Petites perturbations autour d’une configuration de référence . . . .
. . .
a. Hypothèses générales . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Dilatations et déformations en H.P.P. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Définitions et propriétés locales relatives au tenseur
des déformations H.P.P.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Extension de la terminologie au
tenseur des taux des déformations
e. Passage en H.P.P. des variables lagrangiennes
aux variables eulériennes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Relations de comptabilité . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g. Équations générales de la dynamique et de la statique en H.P.P.
autour d’une
configuration en équilibre dans un état naturel
. . . . . . .
5.
Compléments sur les milieux curvilignes . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Relation entre la théorie des milieux curvilignes
et la théorie
tridimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
b. Milieu curviligne en mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
6.
Statique des plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
a. Généralités sur la schématisation des plaques
. . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Équilibre des plaques de révolution . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Théorie naturelle des plaques . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Théorie de
Love - Kirchhoff . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.
Équations de la dynamique des milieux continus . . . . . . . . . . . . .
. . . .
en coordonnées curvilignes. (Appendice) . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.
Transports convectifs et dérivées convectives . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Coordonnées matérielles. Transports par convection
. . . . . . . . . . . .
b. Tenseurs des déformations en coordonnées matérielles . . . .
. . . . . .
c. Transport du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
d. Transport convectif en coordonnées
cartésiennes orthonormées . . .
e. Dérivées convectives . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Application aux taux des déformations . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.
LES LOIS DE CONSERVATION ET L'INÉGALITÉ
FONDAMENTALE DE LA PHYSIQUE DES MILIEUX CONTINUS
1.
Les trois lois de conservation fondamentales et la forme générale
des lois de conservation . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
b. Conservation des quantités de mouvement . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
c. Conservation de l’énergie . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Forme générale d’une loi de conservation . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Équation de bilan . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Implications d’une loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
a. Lemme fondamental de la physique des milieux continus . . .
. . . . . .
b. Loi des actions mutuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
c. Équations aux dérivées partielles associées .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Le tenseur densité de flux . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Équations aux discontinuités . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Forme intégrale générale d’une loi de conservation
. . . . . . . . . . . . .
g. Condition aux frontières naturellement associée à
une loi de conservation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h. Loi de conservation en description lagrangienne . . . . . . . . . .
. . . . .
3.
Équations locales traduisant les lois de conservation classiques . . . .
.
a. Tenseur des contraintes et vecteur courant de chaleur . . . . .
. . . . . .
b. Équations aux dérivées partielles . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Équations aux discontinuités . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Lois de conservation classiques
appliquées à des domaines de
masse variable . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Conditions aux frontières
associées aux lois classiques
de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Lois de conservation classiques en description lagrangienne
. . . . . .
4.
L’inégalité fondamentale en physique des milieux continus
. . . . . . . . .
a. Rappel de thermostatique (Suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b. L’inégalité fondamentale en mécanique des milieux
continus . . . . . .
c. Équation de bilan d’entropie . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. L’inégalité fondamentale pour une surface de discontinuité
. . . . . . .
e. Évolutions réversibles et dissipations . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Première classification des comportements de milieux continus . . . . .
a. Liaisons internes parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
b. Dissipation intrinsèque identiquement nulle . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.
Conducteurs rigides. (Appendice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
a. Équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Conditions aux limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
c. Solutions remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
