VIII.
ÉLASTICITÉ
1.
Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
a. Élasticité H.P.P. non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
b. Élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
c. Milieux isotropes. Élasticité classique . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
d. Milieux anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
e. Formulation globale de la loi de comportement . . . . . . . . . .
. .
2.
Équations générales et théorèmes généraux de
l’élastostatique
a. Équations aux déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . .
b. Équations aux contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
c. Application de l’énoncé des puissances virtuelles . . . . . . . .
. .
d. Théorèmes du travail et de réciprocité en élasticité linéaire
3.
Notions générales sur les problèmes d’élastostatique . . . . . . . .
. .
a. Problèmes réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b. Champs cinématiquement et statiquement admissibles.
Formulation
fonctionnelle des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
4.
Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
a. Traction (ou compression) simple d’une pièce cylindrique
. . .
b. Flexion simple d’une poutre cylindrique . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
c. Torsion d’un arbre cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
d. Problème de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
e. Équilibre d’un réservoir sphérique soumis à des pressions
intérieure
et extérieure uniformes . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
5.
Théorèmes de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
a. Théorèmes de l’énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
b. Équations variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
c. Paramètres cinématiques et paramètres
de chargement conjugués . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Théorème de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
e. Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
f. Notions sur la méthode de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
g. Principe de la méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . .
. . . .
6.
Théorie classique des milieux curvilignes élastiques . . . . . . . . . .
a. Déformations d’un milieu curviligne en petites
perturbations.
Rappels des résultats de statique . . . . . . . . . . . .
b. Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
c. Systèmes de barres articulés. (Treillis) . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
d. Poutres rectilignes en flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
e. Exemple d’un arc en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
f. Application de la méthode de l’énergie . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
g. Milieux curvilignes et résistance des matériaux . . . . . . . . . .
. .
7.
Notions sur la théorie classique des plaques élastiques . . . . . . . .
a. Loi de comportement des plaques élastiques de révolution
. . .
b. Problèmes de membrane (plaque de révolution) . . . . . . . . . .
. .
c. Problèmes de flexion (plaque de révolution) . . . . . . . . . . . . .
.
d. Loi de comportement en élasticité linéaire des plaques
de Love - Kirchhoff . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Énoncé des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
f. Théorèmes de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
g. Loi de comportement classique de la théorie
de Love - Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . . . . .
8.
Thermoélasticité classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
a. Lois d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
b. Loi complémentaire: loi de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
c. Régimes permanents en thermoélasticité . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
d. Régimes quasi-statiques transitoires . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
e. Remarques sur le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
9.
Notions d’élastodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
a. Équations des ondes élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
b. Formulation des problèmes réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
c. Théorème de l’énergie cinétique. Théorème d’unicité . . . .
. . .
d. Équation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
10.
Milieux élastiques en perturbations finies. (Appendice) . . . . . . .
a. Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
b. Milieux incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
c. Milieux isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
d. Lois de comportement affines en thermoélasticité . . . . . . .
. . . .
Visualisations
d’états de contraintes dans les pièces élastiques . . . .
IX.
DISSIPATION ET COMPRESSIBILITÉ
DANS LES ÉCOULEMENTS DE FLUIDES CLASSIQUES
1.
Équations générales des écoulements visqueux
et
compressibles. Similitude des écoulements . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Lois d’état. Cas des gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
b. Lois complémentaires des fluides de Navier-Stokes . . . . . . .
.
c. Cas des fluides incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
d. Équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
e. Grandeurs caractéristiques et variables réduites . . . . . . . . .
. . .
f. Les paramètres de similitude et leur signification . . . . . . . .
. . .
g. Données. Conditions initiales. Conditions aux limites . . . . .
. .
h. Problèmes conduisant à des écoulements semblables.
Résultats de similitude . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i. Utilisation des paramètres de similitude
pour la schématisation des
problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
FLUIDES
VISQUEUX INCOMPRESSIBLES
2.
Généralités sur les écoulements d’un fluide
visqueux incompressible . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
a. Équations de
Navier - Stokes d’un fluide incompressible . . . . .
b. Interprétation du coefficient de viscosité . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
d. Théorèmes généraux pour les écoulements
de fluides incompressibles . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Écoulements plans. Écoulements de révolution . . . . . . . . . .
. . .
3.
Exemples d’écoulements stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
a. Écoulement entre deux plans parallèles . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
b. Écoulement dans un tube cylindrique fixe . . . . . . . . . . . . . .
. . .
c. Écoulement entre deux cylindres coaxiaux en rotation . . . .
. . .
d. Remarques sur les écoulements stationnaires étudiés . . . .
. . . .
e. Écoulement dans un convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
4.
Exemples d’écoulements non stationnaires . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
a. Remarques préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
b. Écoulement produit par la mise en mouvement instantanée
d’une paroi plane . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Freinage d’un écoulement uniforme
par un obstacle au repos . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Diffusion d’une surface de contact . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
e. Diffusion du tourbillon singulier en écoulement plan . . . . .
. . .
5.
Écoulements à grand nombre de Reynolds. Couche limite . . . . . .
a. Description qualitative du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
b. Modèle mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
c. Équations de la couche limite en écoulement plan . . . . . . .
. . .
d. Plaque plane semi-infinie dans un écoulement uniforme
6.
Écoulements stationnaires à faible nombre de Reynolds . . . . . . . .
a. Équations de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b. Les théorèmes de l’énergie. Applications . . . . . . . . . . . . .
. . . .
FLUIDES
PARFAITS COMPRESSIBLES
7.
Généralités sur les écoulements
d’un fluide parfait compressible . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
a. Rappel des équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
b. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
c. Théorèmes sur la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
d. Théorèmes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
e. Écoulement dans un tube infiniment délié.
Théorème d’Hugoniot . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Ondes de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
g. Évolutions adiabatiques mais non barotropes . . . . . . . . . . .
. . .
8.
Écoulements stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
a. Hypothèse de l’écoulement par tranches. Tuyère de Lavai
. . . .
b. Écoulements irrotationnels stationnaires . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
c. Écoulements d’onde simple.
Principe de la méthode des
caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . .
d. Écoulements avec onde de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
e. Écoulements stationnaires voisins d’un écoulement
uniforme (H.P.P.) . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Similitude de
Prandlt - Glauert pour les profils en
aérodynamique
subsonique linéarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h. Profils en aérodynamique supersonique linéarisée . . . . . . .
. . .
i. Intérêt et limites de l’approximation linéaire . . . . . . . . . .
. . . . .
9.
Écoulements non stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a. Écoulements rectilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b. Écoulements d’onde simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
c. Écoulements avec ondes de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
d. Acoustique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
e. Propagation par ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
f. Ondes sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
g. Solution du problème de Cauchy pour l’équation
des ondes dans
l’espace à trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . .
EXEMPLES
D'ÉCOULEMENTS DE FLUIDES DISSIPATIFS
ET COMPRESSIBLES
10.
Écoulement de Couette d’un fluide compressible . . . . . . . . . . . .
a. Étude générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
b. Température adiabatique de paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
c. Distribution des températures pour
m constant . . . . . . . . . . . . .
d. Profil des vitesses, pour m proportionnel
à T
(paroi isolante) .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.
Structure de l’onde de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
12.
Convection thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a. Notations et hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b. Équations de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
Annexe:
Tables pour le calcul des écoulements
de fluide parfait (γ = 1,4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
Images
d’écoulements de fluide incompressible . . . . . . . . . . . . . . . .
Images
d’écoulements de fluide compressible . . . . . . . . . . . . . . . . .
X.
STABILITÉ. VIBRATIONS ET MOUVEMENTS VOISINS.
BIFURCATIONS
SYSTÈMES
DISCRETS OU DISCRÉTISÉS
1.
Vibrations d’un système conservatif au voisinage
d’une position d’équilibre stable . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Équations des petits mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . .
b. Fréquences propres et mouvements propres . . . . . . . . . . . .
. . .
c. Coordonnées modales d’un système. Applications . . . . . . . .
. .
d. Recherche de bornes pour les fréquences propres . . . . . . . .
. .
e. Équilibre dépendant de paramètres de chargement.
Charge critique . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Stabilité
des systèmes linéarisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
a. Caractérisation des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
b. Remarques générales sur le comportement des systèmes
linéarisés.
Conditions de stabilité de l’équilibre . . . . . . . . . . .
c. Superposition de forces dissipatives et gyroscopiques
à une position
d’équilibre stable sous l’action de forces
purement conservatives . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Stabilisation d’une position d’équilibre instable d’un système
soumis à des forces conservatives par superposition
de forces
gyroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Déstabilisation, par addition de frottements visqueux,
d’un système
instable sous l’action de forces conservatives
et stabilisé par effet
gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Forces circulatoires. Instabilité par flottement . . . . . . . . . . .
. .
g. Critère de stabilité de
Routh - Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
h. Relations entre le système linéarisé autour d’une position
d’équilibre
et le système non linéarisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i. Indications sur les cas où existent des liaisons dépendant
du temps . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
j. Forces perturbatrices dépendant du temps . . . . . . . . . . . .
. . . . .
3.
Vibrations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
a. La méthode du «temps modifié» de Poincaré . . . . . . . . . . . .
. .
b. La méthode des échelles multiples.
Application à l’équation de
Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SYSTÈMES
CONTINUS
4.
Vibrations des systèmes élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a. Vibrations propres d’une structure élastique
autour de son état naturel . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Vibrations forcées des structures élastiques . . . . . . . . . . . .
. . .
c. Vibrations longitudinales d’une tige élastique . . . . . . . . . . .
. . .
d. Vibrations de flexion d’une tige élastique . . . . . . . . . . . . .
. . . .
e. Vibrations de flexion des plaques
(Théorie de Love-Kirchhoff)
f. Vibrations propres des systèmes élastiques couplés . . . . . .
. . .
5.
Vibrations de masses fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
a. Méthode générale d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
b. Modes propres d’un tuyau sonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c. Modes propres d’un liquide pesant dans un bassin fermé
. . . . .
d. Petits mouvements d’un liquide pesant . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
e. Milieux dispersifs et non dispersifs . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
f. Petits mouvements d’un liquide pesant stratifié . . . . . . . . . .
. . .
g. Vibrations de systèmes
complexes. Interaction fluide-structure
BIFURCATIONS
ET INSTABILITÉS
6.
Instabilité et bifurcations en mécanique des solides.
Flambement des structures . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
a. Modèle élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
b. Généralités sur le flambement des structures élastiques
. . . . . .
c. Étude statique d’une barre par la méthode des
imperfections
d. Flambement d’une barre en compression
sous diverses conditions
terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Méthode de l’énergie potentielle pour l’étude du flambement
f. Exemple de charge circulatoire. Flambement d’une barre
par une charge tangentielle . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g. Flambement d’une plaque par compression . . . . . . . . . . . . .
. .
7.
Écoulements laminaires et écoulements turbulents.
Stabilité et
bifurcations des écoulements de fluides . . . . . . . . . . .
a. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
b. Écoulements dans une conduite et dans une couche limite.
Stabilité
hydrodynamique et transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Bifurcations de l’écoulement entre deux cylindres
concentriques. (Écoulement
de Couette - Taylor) . . . . . . . . . . .
d. Bifurcations des écoulements convectifs . . . . . .
. . . . . . . .
. . . .
e. Transition vers le chaos. Transition vers la turbulence . . . . .
. .
f. Les équations de Reynolds des écoulements turbulents
et le problème
de leur fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g. Notions qualitatives sur les mécanismes
de dissipation turbulente . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XI.
THERMODYNAMIQUE DES MILIEUX CONTINUS
ET LOIS DE COMPORTEMENT
1.
Le problème fondamental de la thermodynamique . . . . . . . . . . . .
a. Rappels des relations universelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b. Données et inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
c. Lois de comportement et processus
thermodynamiquement admissibles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Les formulations actuelles de la thermodynamique
des milieux continus . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
La méthode de l’état local associé . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
a. Premières indications sur l’hypothèse de l’état local associé
b. Potentiel thermodynamique et lois d’état . . . . . . . . . . . . . .
. . .
c. Lois d’état et lois complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
d. L’hypothèse du pseudo-potentiel des dissipations . . . . . . . .
. .
e. Thermodynamique des processus irréversibles . . . . . . . . . .
. . .
f. Liaisons internes. Exemple de l’incompressibilité . . . . . . . .
. .
g. Premières indications sur l’application à la mécanique
classique
des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Introduction à la mécanique des matériaux . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a. Modèles rhéologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . . .
b. Comportement en traction-compression
d’une barre anélastique . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Solide viscoélastique de
Kelvin - Voigt . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
d. Fluide viscoélastique de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
e. Solide élastique parfaitement plastique de
Prandtl - Reuss
f. Exemples de milieux à variables internes . . . . . . . . . . . . . .
. . .
4.
Signification physique de l’état local associé . . . . . . . . . . .
. . . . .
a. La particule comme modèle rhéologique
de constitution inconnue . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. La sélection des mécanismes dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
c. Micro-macromécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
d. Prise en compte de l’âge ou de l’usage des matériaux . . . . .
. .
5.
Théories non classiques de mécanique des milieux continus.
(Appendice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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a. Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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b. Équations de base d’un mélange de fluides réactifs . . . . . . .
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CONCLUSION
GÉNÉRALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BIBLIOGRAPHIE
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INDEX
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