Table des matières

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I. Éléments d’analyse vectorielle

1. Champ de vecteur. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Champ central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Champ affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Produit scalaire de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Produit vectoriel de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Division vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Circulation d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. La circulation élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. La circulation le long d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Flux d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Le flux élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Le flux à travers une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Le flux sortant d’une surface fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Expressions analytiques en coordonnées cartésiennes . . . . . . . .

b. Expressions analytiques en coordonnées cylindriques . . . . . . . .

c. Expressions analytiques en coordonnées sphériques . . . . . . . . . .

II. Torseurs

1. Champs antisymétriques ou équiprojectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition d’une application antisymétrique ou symétrique . . . . .

b. Définition d’un champ antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Définition d’un champ équiprojectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Champ antisymétrique de l’espace vectoriel
    euclidien de dimension 3, E₃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Composantes d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Invariant scalaire d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Invariant vectoriel d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f. Opérations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g. Torseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

h. Décomposition d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i. Exemples de torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. Cinématique du solide

1. Le torseur cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Mouvements particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Mouvement de translation d’un solide (S)
    par rapport au repère R₀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Mouvement de rotation d’un solide (S) autour d’un axe
    passant par l’un de ses points A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Mouvement hélicoïdal d’un solide (S) autour d’un axe
    passant par l’un de ses points A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Mouvements tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Composition des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Vecteur rotation instantanée d’un repère
    par rapport à un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Dérivation en repère mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Paramétrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Cas d’un solide (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Cas d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Cas d’un système discret de N particules matérielles . . . . . . . . .

d. Cas d’un système (S) quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Cinématique de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Glissement, roulement, pivotement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Remarques utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV. Liaisons

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Liaison géométrique ou de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Liaison par contact ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Liaison pivot ou rotoïde ou cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Liaison glissière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Liaison verrou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Liaison cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Liaison point fixe ou liaison sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Liaisons de non glissement, non roulement et non pivotement

5. Liaison dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. La résultante générale des actions de (S₂) sur (S₁) . . . . . . . . . . .

b. Le moment des actions de (S₂) sur (S₁) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V. Cinétique

1. Loi de masse d’un système matériel (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Centre d’inertie d’un système matériel (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Théorèmes de Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Moments d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Moments du second ordre d’une loi de masse . . . . . . . . . . . . . . .

c. Relations entre moments d’inertie par rapport à un plan,
    un axe, un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Ellipsoïde d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Théorème d’ Huyghens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. L’opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Matrice d’inertie d’un système matériel (S)
    par rapport à un repère R

b. Opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Opérateur d’inertie et moment d’inertie par rapport à un axe (D)

d. Axes principaux d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f. Premier théorème de Koënig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Le torseur cinétique Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Détermination du moment cinétique d’un solide (S)
    en l’un de ses points A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Détermination du moment cinétique d’un système (S)
    en un point A n'appartenant pas à (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Repère barycentrique ou repère de Koënig RG . . . . . . . . . . . . .

e. Théorème de Koënig pour le moment cinétique . . . . . . . . . . . . .

6. Le torseur dynamique A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Relation entre moment dynamique et moment cinétique
    d’un système (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Théorème de Koënig pour le moment dynamique . . . . . . . . . . . .

7. Énergie cinétique T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Étude de quelques cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Énergie cinétique d’un système (S), compatible avec une liaison

d. Théorème de Koënig pour l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . .

8. Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI. Loi fondamentale et théorèmes généraux
pour un système matériel

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les efforts extérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Schématisation dans quelques cas simples . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les efforts intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Loi fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Les théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Théorème de la résultante dynamique  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Théorème de l’action et de la réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Utilisation de repères non galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII. Énergie

1. Énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Énergie potentielle de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Énergie potentielle élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Puissance - Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Cas d’un système matériel (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Puissance d’efforts s’exerçant sur un solide (S) . . . . . . . . . . . . .

c. Travail développé par un ensemble de forces . . . . . . . . . . . . . . .

3. Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Théorème de l’énergie cinétique pour un solide (S) . . . . . . . . . .

b. Théorème de l’énergie cinétique pour un système de solides (S)

4. Intégrales premières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Intégrale première de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Intégrale première du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Équations de Lagrange d’un système conservatif . . . . . . . . . . . . . .

6. Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problèmes d’examens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

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1

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2

2

2

2

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9

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