Avant-propos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
I.
Quelques rappels de mathématiques
1.
Espace affine en et espace vectoriel En de dimension
n . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Produits scalaires. Espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3.
Espace euclidien orienté de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
4.
Formule du double produit vectoriel. Division vectorielle . . . . . . . . . . . . .
5.
Applications (opérateurs) symétriques ou antisymétriques
d'un espace euclidien En de dimension n . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.
Propriétés particulières des opérateurs symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
PARTIE
PRÉLIMINAIRE :
TORSEURS
II.
Torseurs
1. Champs antisymétriques et champs équiprojectifs
d'un espace euclidien
en de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Champs antisymétriques d'un espace euclidien e, orienté, de dimension 3
3.
Définitions relatives aux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
4.
Espace vectoriel des torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
5.
Exemples de torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
6.
Torseurs élémentaires glisseurs, couples . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
7.
Décompositions d'un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
8.
Décomposition d'un torseur en la somme d'un couple et d'un glisseur
colinéaires. Axe d'un torseur qui n'est pas un couple.
Description des torseurs . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.
Comoment (ou produit de deux torseurs). Moment d'un vecteur
lié ou d'un torseur par rapport à un axe . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
PREMIÈRE
PARTIE :
CINÉMATIQUE
II.
Observateurs. Mouvements. Vitesse. Accélération
1.
Temps et espace d'un observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2.
Schématisation des mouvements par rapport à un observateur donné . . . . .
3.
Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Hypothèses sur le vecteur et sur le vecteur accélération. Convention
relative au mot " mouvement " valable dans toute la suite de l'ouvrage . . .
.
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
III.
Décompositions du vecteur vitesse et du vecteur accélération
1.
Paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Définition d'un mouvement comme application composée . . . . . . . . . . . . .
.
3.
Composantes du vecteur vitesse et du vecteur accélération
en
coordonnées cartésiennes, en coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . .
.
4.
Composantes du vecteur vitesse et du vecteur accélération
sur la base de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Composantes du vecteur vitesse sur la base locale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
6.
Projections orthogonales du vecteur accélération sur la base locale . . . .
. .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
Exemples de mouvements d'un point
1.
Mouvements uniformes. Mouvements accélérés. Mouvements retardés . . .
2.
Mouvements rectilignes. Mouvements circulaires.
Mouvements hélicoïdaux . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Mouvements à accélération centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
V.
Cinématique du solide (pour un observateur donné)
1.
La notion de solide pour un observateur . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
2.
Définition analytique du mouvement d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
3.
Champ des vitesses à un instant donné . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
4.
Mouvement de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
5.
Mouvement de rotation autour d'un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
6.
Mouvement hélicoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
7.
Mouvements tangents (à un instant donné) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
VI.
Changement d'observateurs. Mouvements composés.
Applications
1.
Changement de temps en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
2.
Le principe de changement d'espace en mécanique classique . . . . . . . .
. . .
3.
Composition des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
4.
Vitesse et accélération d'un point dans un mouvement composé . . . . . . . .
.
5.
Torseurs cinématiques d'espaces dans un mouvement composé . . . . . . . .
.
6.
Décomposition du mouvement d'un solide. Angles d'Euler . . . . . . . . . . . . .
7.
Cinématique du contact de deux solides . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
8.
Mouvement plan sur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
9.
Cames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.
Notions sur les engrenages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
11.
Trains d'engrenages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
DEUXIÈME
PARTIE :
CINÉTIQUE
VII.
Masse. Centres d'inertie. Opérateurs d'inertie
1.
Introduction intuitive des systèmes matériels . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2.
Schématisation des systèmes matériels . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3.
Torseur associé à un système matériel et à un champ de vecteurs . . . . . . . .
4.
Centre d'inertie d'un système matériel à un instant donné . . . . . . . . . . . .
. . .
5.
Détermination pratique des centres d'inertie. Exemples . . . . . . . . . . . . . .
.
6.
Opérateur d'inertie d'un solide S en un point O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
7.
Détermination pratique des opérateurs d'inertie. Exemples . . . . . . . . . . .
. .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.
Torseur cinétique. Torseur dynamique. Énergie cinétique
1.
Torseur cinétique. Torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2.
Définition de l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
3.
Utilisation de la composition des mouvements. Théorèmes de Kœnig . . . .
4.
Cas particuliers du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
TROISIÈME
PARTIE :
DYNAMIQUE
IX.
Le principe fondamental de la dynamique classique
et ses conséquences
1.
Forces exercées sur un point matériel.
Représentation des forces . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Efforts extérieurs sur un système matériel. Torseur des efforts
extérieurs
3.
Principe fondamental. Temps galiléen. Espaces galiléens . . . . . . . . . . . . . .
4.
Retour à la représentation des forces. Unités de force.
Signification physique de la force . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Théorème de la résultante dynamique. Théorèmes du moment cinétique
6.
Théorème d'opposition de l'action et de la réaction . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
7.
Transmission des efforts par les systèmes matériels
de masse
négligeable. Exemple des fils et câbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.
Emploi d'espaces non galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
X.
Puissance et travail. Théorème de l'énergie cinétique
1.
Définition de la puissance et du travail de forces concentrées ou
réparties
2.
Puissance et travail de forces et de couples-efforts exercés sur des
solides
3.
Unités de puissance. Unités de travail . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
4.
Théorème de l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
XI.
Efforts donnés. Efforts non donnés. Intégrales premières
1.
Paramètres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Définition analytique des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3.
Définition des efforts donnés, des efforts non donnés . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Champs gradients et potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
5.
Contact de deux solides. Lois du frottement de glissement . . . . . . . . . . . .
.
6.
Inconnues d'un problème et équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . .
. .
7.
Intégrales premières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.
Énergie potentielle et fonction de forces . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
9.
Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
10.
Conservation de l'énergie mécanique.
Intégrale première de l'énergie cinétique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
XII.
Espaces galiléens approchés. Gravitation et pesanteur
1.
Champ newtonien (champ de gravitation). Potentiel newtonien . . . . . . . .
. .
2.
Potentiel d'une boule formée de couches concentriques
homogènes. Applications . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Espaces galiléens approchés usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
4.
Exemples de mouvements approchés par des mouvements
dans un champ central gravitationnel . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Pesanteur. Verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
6.
Poids d'un système matériel en un lieu. Comparaison des masses . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
XIII.
Exemples de problèmes de dynamique et de statique
1.
Les principaux problèmes généraux rencontrés en mécanique . . . . . . . .
. . .
2.
Mouvement d'un point matériel dans un champ de forces
d'accélération uniforme et constante . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Mouvement propre approché d'un véhicule spatial de révolution . . . . . . .
.
4.
Statique des fluides. Théorème d'Archimède . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
5.
Fusées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
XIV.
Mouvement d'un point matériel soumis à une force centrale.
Cas
particulier du champ gravitationnel
1.
Mouvement dans un champ central isotrope quelconque . . . . . . . . . . . . .
. .
2.
Mouvement général de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
3.
Calcul d'éléments de la trajectoire ou du mouvement
à partir des
données initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
5.
Mouvement elliptique. Équation de Kepler. Lois de Kepler . . . . . . . . . . . .
6.
Satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
XV.
Mouvement d'un solide autour d'un axe fixe
ou autour d'un point fixe
1.
Liaison rotoïde. Mouvement d'un solide autour d'un axe fixe . . . . . . .
. . . .
2.
Solides tournants. Équilibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
3.
Poulies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Liaison sphérique. Mouvement d'un solide autour d'un point fixe . . . . .
. . .
5.
Mouvement d'une toupie de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
6.
Gyroscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
XVI.
Oscillations
1.
Oscillateurs linéaires à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
a.
Analogies. Problèmes à résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
b.
Oscillations libres. Systèmes conservatifs. Systèmes dissipatifs . . . . . .
.
c.
Excitation sinusoïdale. Oscillation forcée. Résonances . . . . . . . . . .
. . . .
d.
Détermination expérimentale des coefficients.
Réponse à une excitation quelconque . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Couplage de deux ou plusieurs oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
a.
Exemples de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
b.
Oscillations libres d'un système sans viscosité
et à énergie
potentielle définie positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c.
Oscillations libres d'un système régulier . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
d.
Oscillations forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
3.
Oscillateur spatial linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
a.
Mouvement sans résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
b.
Mouvement avec résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
4.
Oscillateurs non linéaires. Technique de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Pendule composé. Trajectoires de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Technique de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
INDEX
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
