Table des matières

I. Introduction : systèmes linéaires

1. Généralités sur les systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Propriété des systèmes linéaires principe de superposition . . . . . .

c. Limites de validité de l'hypothèse de linéarité . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Systèmes continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Nature des signaux d'entrée et de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Méthodes d'analyse des systèmes linéaires à une variable

1. Calcul de la réponse d'un système linéaire à une entrée quelconque.
    Notions de fonction de transfert et de schéma fonctionne . . . . . . . . . .

a. Fonction de transfert et schéma fonctionnel d'un système linéaire

b. Réponse temporelle d'un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Analyse des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Analyse transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Analyse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Identité entre analyse transitoire et analyse harmonique . . . . . . . . .

d. Exemples de réponses transitoires et de réponses harmoniques . . .

III. Généralités sur les systèmes asservis linéaires

1. Notions sur les systèmes de commande asservis . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Commande de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Commande de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Schémas fonctionnels de systèmes asservis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Éléments fondamentaux des systèmes asservis . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Fonctions de transfert utilisées dans l'étude des systèmes asservis . . .

a. Fonction de transfert d'un système asservi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Fonction de transfert en boucle ouverte d'un système asservi . . . . .

c. Relation fondamentale entre la fonction de transfert d'un
    système asservi et sa fonction de transfert en boucle ouverte . . . . .

d. Forme générale des fonctions de transfert d'un système asservi . . .

3. Analyse de l'influence de la réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Système de commande en chaîne ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Système de commande en chaîne fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV. Diagrammes et abaques

1. Diagrammes de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Terme K.(jw)^a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Terme (1 +jwt)^b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Terme (1 - w²/w_n² + j 2 xw/wn)^g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Terme e^-jwt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Relation entre les diagrammes d'amplitude et de phase . . . . . . . . . .

2. Diagrammes et abaque de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition du diagramme de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Construction et allure des diagrammes de Black . . . . . . . . . . . . . . .

c. Abaque de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Diagrammes de Nyquist et abaque de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition du diagramme de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Construction et allure des diagrammes de Nyquist . . . . . . . . . . . . .

4. Allure du diagramme d'amplitude d'un système asservi.
    Notions de facteur de résonance et de bande passante . . . . . . . . . . . .

a. Facteur de résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Déterminations du facteur de résonance et de la bande passante . . .

V. Stabilité

1. Conditions de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Critère du revers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Critère du revers dans le plan de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Critère du revers dans le plan de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Critère du revers dans le plan de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Critères d'application générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Critère de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Critère de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Degré de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Degré de stabilité d'un système du second ordre . . . . . . . . . . . . . . .

b. Degré de stabilité d'un système d'ordre quelconque . . . . . . . . . . . .

c. Approximation dans le plan de Bode du facteur de résonance.
    Déphasage et gains marginaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI. Précision

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Précision dynamique et précision statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Expression générale de la transformée de Laplace de l'écart d'un
  système asservi soumis à une entrée principale et à une perturbation

2. Précision dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Précision dynamique d'un système
    du premier ordre à retour unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Précision dynamique d'un système
    du second ordre à retour unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Précision dynamique d'un système d'ordre quelconque . . . . . . . . . .

3. Précision statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition des erreurs stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Expressions des erreurs stationnaires
    relatives à une entrée principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Expressions des erreurs stationnaires relatives à une perturbation

4. Critères de performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Critère de l'intégrale du carré de l'écart (Hall - Sartorius) . . . . . . .

b. Critère de l'intégrale de la valeur absolue de l'écart . . . . . . . . . . . .

c. Critère I. T. A. E.
    (Integral of Time multiplied Absolute value of Error ) . . . . . . . . . .

VII. Correction

1. Correcteurs spécifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Cas d'un système dont la fonction de transfert
    possède un retard pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Correcteurs classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définitions des actions proportionnelle, intégrale et dérivée . . . . .

b. Action proportionnelle et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Forme approchée de l'action PD correcteur à avance de phase . . . .

d. Action proportionnelle et intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Forme approchée de l'action PI correcteur à retard de phase . . . . .

f. Action proportionnelle, intégrale et différentielle . . . . . . . . . . . . . .

g. Forme approchée de l'action PID correcteur retard-avance . . . . . .

h. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Détermination des paramètres d'un correcteur classique . . . . . . . . . . .

a. Détermination des paramètres d'un correcteur
    à actions PD, PI, PID et à retard de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Détermination d'un correcteur à avance de phase
    et d'un correcteur retard-avance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Réalisation des correcteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Correcteurs en cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Correcteurs en réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIII. Étude d'un système asservi linéaire
par la méthode du lieu d'Evans

1. Critères de performances dans le plan de Laplace . . . . . . . . . . . . . . .

a. Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Précision dynamique et degré de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Lieu d'Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Configuration pôles-zéros de la fonction de transfert F(p)
    d'un système asservi linéaire lieu d'Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Propriétés et allure du lieu d'Evans. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Construction graphique des lieux d'Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Correction dans le plan de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Correcteur à avance de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Correcteur à retard de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Correcteur retard-avance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices et problèmes résolus

Exercices

Calcul de la fonction de transfert de systèmes physiques linéaires.
Construction de schémas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Généralités sur les systèmes asservis linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Diagrammes et abaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Étude d'un système linéaire par la méthode du lieu d'Evans . . . . . . . . . .

Problèmes

P1. Asservissement de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P2. Multiplieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P3. Asservissement de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P4. Asservissement de température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Références et bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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