0.
Résumé
du cours de thermodynamique statistique :
lois de répartition à
l'équilibre dans les systèmes sans interaction
1.
Notions de mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2.
Statistiques quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Hypothèses de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Lois de répartition à l'équilibre dans les statistiques quantiques . . . . . . . . .
c.
Relation de Boltzmann entre l'entropie et la probabilité thermodynamique
d.
Limite commune des statistiques quantiques . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
3.
Statistique classique de Maxwell - Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
4.
Domaines d'application des statistiques des systèmes sans interaction . . . .
. .
I.
Problèmes de répartition
1.
Complexions, états microscopiques et états macroscopiques
de deux
particules se répartissant sur deux niveaux d'énergie . . . . . . . . .
. . . .
2.
Répartition de deux particules sur trois niveaux d'énergie
en
statistique de Maxwell - Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3.
Recherche de l'état le plus probable pour un petit nombre de particules . . . . .
4.
Recherche de l'état le plus probable
pour une suite infinie de niveaux
d'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Deux bosons répartis sur trois niveaux équidistants . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
6.
Bosons, en nombre indéterminé, répartis sur trois niveaux d'énergie . . . . . . .
.
7.
Répartition de trois électrons sur trois niveaux d'énergie . . . . . .
. . . . . . . . . . .
8.
Répartition à l'équilibre dans la statistique de Bose - Einstein
lorsque
le nombre de particules est indéterminé mais grand . . . . . . . . . . .
. . .
9.
Statistique de Fermi dans un semi-conducteur dopé . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
10.
Le paramètre b est
indépendant de la nature des particules . . . . . . . . . . . . . .
11.
Le paramètre b est
indépendant de la statistique considérée . . . . . . . . . . . . .
12.
Relation entre le paramètre b
et la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.
Statistique de Maxwell - Boltzmann " corrigée " . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
14.
Cas particulier de deux niveaux en statistique de Maxwell - Boltzmann . . .
.
II.
Applications de la statistique de Maxwell - Boltzmann
1.
Expression des grandeurs thermodynamiques à partir de la fonction de
partition Z en statistique de Maxwell - Boltzmann (non
corrigée) . . . . . . . . . .
2.
Systèmes de molécules à deux niveaux d'énergie obéissant
à la
statistique de Maxwell - Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
3.
Trois niveaux équidistants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Énergie interne et capacité calorifique des solides dans le modèle
d'Einstein
5.
Contribution de la translation des molécules
à la capacité calorifique
d'un gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.
Estimation de l'erreur commise sur le calcul
de la fonction de partition
de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.
Capacité calorifique molaire de rotation d'un gaz parfait
diatomique
formé de molécules non hydrogénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
8.
Capacité calorifique molaire de rotation d'un gaz parfait
diatomique
formé de molécules légères hétéronucléaires gaz
formé de
molécules HD (hydrogène-deutéré) . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
9.
Fonctions de partition de rotation des molécules diatomiques
homonucléaires ortho et parahydrogène . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.
Capacité calorifique molaire de vibration d'un gaz diatomique . . . . . .
. . . . .
11.
Contribution aux fonctions thermodynamiques des termes
correctifs de rotation-vibration d'une molécule
diatomique . . . . . . . . . . . . . .
12.
Théorie classique de la substance paramagnétique parfaite :
théorie de Langevin . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.
Aimantation de la substance paramagnétique parfaite : théorie de Brillouin
14.
Gaz parfait dans un champ de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
15.
Gaz parfait dans une centrifugeuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
16.
Propriétés de l'entropie en statistique de Maxwell - Boltzmann et de
Maxwell -
Boltzmann corrigée pour un gaz
monoatomique . . . . . . . . . . . . . .
17.
Grandeurs thermodynamiques en statistique de Maxwell - Boltzmann
corrigée ; fonctions d'état relatives aux
différentes formes d'énergie . . . . . . .
18.
Entropie d'un gaz parfait monoatomique à partir de la
thermodynamique statistique : vérification expérimentale
. . . . . . . . . . . . . . .
19.
Contribution des niveaux d'énergie électronique à l'entropie . . . . .
. . . . . . . .
20.
Entropie de rotation d'un gaz diatomique . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
21.
Calcul de l'entropie d'un solide dans le modèle d'Einstein . . . . . . .
. . . . . . . .
22.
Variation d'entropie dans un mélange de gaz parfaits . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
23.
Fonctions thermodynamiques, équation d'état et potentiels
chimiques dans un mélange de gaz parfaits
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.
Étude de l'équilibre chimique entre gaz parfaits . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
25.
Étude de la dissociation de l'oxygène . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
26.
Effet d'un changement d'origine des énergies
sur les fonctions thermodynamiques . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
Théorie cinétique des gaz
1.
Loi de répartition des vitesses à partir de la statistique
de Maxwell - Boltzmann : première méthode . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Calcul de la loi de répartition des vitesses à partir
de la statistique
de Maxwell - Boltzmann : deuxième méthode . . . . . . . . . . . .
3.
Loi de répartition des vitesses à partir des hypothèses de
Maxwell et
de l'expression de la vitesse quadratique moyenne . . . . . . . . . . . .
4.
Vitesse la plus probable, vitesse moyenne, vitesse quadratique moyenne . . . .
5.
Variation de la pression dans une enceinte isotherme percée d'un orifice . . .
.
6.
Condensation de vapeur sur une paroi froide . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
7.
Répartition des vitesses dans un jet atomique . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
8.
Jet moléculaire dans un champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
9.
Étude expérimentale de la répartition des vitesses dans un jet
atomique
par la méthode du cylindre tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
10.
Équilibre moléculaire entre deux enceintes . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
11.
Principe d'un manomètre à basse pression : manomètre de Knudsen . . . . . . .
IV.
Statistique de Bose - Einstein
pour un nombre de particules déterminé
1.
Étude des équations permettant de déterminer la fonction
de Helmholtz
d'un gaz de bosons; définition de la fonction f(n)
. . . . . . . . . . . .
2.
Pourquoi, en général, un gaz de bosons est assimilable
à un gaz de Maxwell - Boltzmann . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Étude d'un gaz de bosons dans le domaine des écarts faibles par rapport
au
gaz de Maxwell - Boltzmann : gaz de bosons faiblement
dégénéré . . . . . . . . .
4.
Expression des fonctions thermodynamiques à partir de la fonction f(n)
. . . . .
5.
Résumé de cours Gaz de bosons fortement dégénéré : condensation
d'Einstein
6.
Répartition des bosons entre le niveau fondamental
et les autres niveaux durant la condensation d'Einstein
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.
Étude de quelques fonctions thermodynamiques d'un fluide
de bosons au
cours de la condensation d'Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
8.
Application de la condensation d'Einstein passage
de l'hélium 4 de
l'état d'hélium I à l'état d'hélium II . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
9.
Comportement de l'entropie d'un fluide de bosons aux basses températures
10.
Absence de condensation d'Einstein pour un fluide
de bosons à deux dimensions . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.
Statistique de Bose - Einstein
pour un nombre de particules indéterminé (photons et phonons)
1.
Étude thermodynamique du rayonnement
dans une enceinte : méthode de Bose . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Étude du rayonnement dans une enceinte par la méthode de Planck . . . . . . . . .
3.
Calcul de l'entropie et de la pression de radiation dans une enceinte . . . . . . .
.
4.
Étude de la densité spectrale d'énergie . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
5.
Flux de photons à travers l'orifice d'un corps noir . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
6.
Calcul de la constante de Stefan s . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.
Résumé de cours Application de la statistique de Bose -
Einstein :
introduction des phonons dans l'étude des solides . . . . . . . . . . . .
. .
8.
Expression de la capacité calorifique d'un solide
pour une densité
d'états quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
9.
Capacité calorifique d'un solide à haute température . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
10.
Modèle d'Einstein en statistique de Bose - Einstein . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
11.
Capacité calorifique d'un solide dans le modèle de Debye . . . . . . . .
. . . . . .
12.
Fonctions thermodynamiques dans le modèle de Debye . . . . . . . . . . .
. . . . . .
13.
Capacité calorifique d'un réseau plan monoatomique . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
14.
Capacité calorifique d'un réseau unidimensionnel
monoatomique dans l'approximation de Debye
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.
Calcul de la capacité calorifique d'un réseau unidimensionnel
monoatomique avec une densité d'états exacte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.
Calcul approché de la capacité calorifique d'un réseau
tridimensionnel monoatomique . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.
Mesure de l'énergie de cohésion du cadmium et vérification
expérimentale de l'entropie statistique du gaz parfait
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.
Statistique de Fermi - Dirac appliquée aux gaz de fermions
0.
Introduction sur les fonctions densité d'états des électrons . . . . .
. . . . . . . . . . .
1.
Équations permettant de déterminer la fonction de Helmholtz
d'un gaz de fermions . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Gaz de fermions fortement dégénéré :
étude directe d'un gaz de
fermions au zéro absolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Gaz de fermions fortement dégénéré : calcul de l'impulsion
moyenne et
de l'énergie moyenne au zéro absolu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
4.
Répartition des électrons dans les métaux : estimation de l'énergie de
Fermi
5.
Calcul de la pression d'un gaz d'électrons à T = 0 K . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
6.
Étude de la fonction de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
7.
Gaz de fermions à deux dimensions : niveau de Fermi du graphite . . . . . . . .
.
8.
eF
est constant si la dérivée de g(e)
s'annule au voisinage de eF . . . .
. . . . . . .
9.
Capacité calorifique d'un métal dans un modèle
utilisant une fonction
de Fermi simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
10.
Déplacement du niveau de Fermi avec la température . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
11.
Contribution des électrons à la capacité calorifique
des métaux : modèle de Sommerfeld . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.
Capacité calorifique 'un gaz d'électrons
pour une densité d'états
quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.
Paramagnétisme électronique du sodium . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
14.
Susceptibilité électronique d'un métal
pour une densité d'états
quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.
Émission thermoïonique Formule de Dushman . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
VII.
Statistique de Fermi - Dirac : électrons répartis sur des niveaux
discrets
ou des bandes d'énergie (semi-conducteurs)
1.
Influence négligeable des bandes autres que celles situées au voisinage
immédiat du niveau de Fermi dans un semi-conducteur . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
2.
Niveau de Fermi d'un semi-conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3.
Énergie interne et capacité calorifique d'un semi-conducteur . . . . . .
. . . . . . . .
4.
Calcul de l'entropie d'un semi-conducteur . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
5.
Modèle de semi-conducteur dopé, ayant une bande
de conduction
semi-infinie et un niveau d'impuretés . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
6.
Assimilation des bandes de conduction et de valence
à deux niveaux
d'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
7.
Modèle à deux niveaux d'énergie d'un semi-conducteur intrinsèque . . . . . . . .
.
8.
Deux niveaux de même dégénérescence, faiblement occupés . . . . . . .
. . . . . . .
9.
Deux niveaux de dégénérescence différente, faiblement occupés (par
exemple
un niveau de conduction et un niveau piège) . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
10.
Modèle à deux niveaux d'un semi-conducteur extrinsèque . . . . . . . .
. . . . . . .
11.
Deux niveaux : méthode de résolution graphique . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
12.
Deux niveaux, résolution graphique : cas d'un niveau accepteur . . . . . . . . .
.
13.
Relation entre les populations de deux ou trois niveaux
quelconques à l'équilibre thermique loi d'action de
masse . . . . . . . . . . . . . . .
14.
Application de la loi d'action de masse au cas de deux niveaux . . . . . . . . . .
15.
Équilibre dynamique entre deux niveaux,
le nombre total de particules
variant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.
Temps de relaxation dans la statistique de Fermi - Dirac . . . . . . . . .
. . . . . .
17.
Établissement de la distribution de Fermi
à partir des probabilités de transition .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.
Phénomènes de transport
1.
Libre parcours moyen d'une molécule dans un gaz . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
2.
Probabilité d'un libre parcours et débit à travers une surface
lorsqu'on tient compte des collisions . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Coefficient de conductibilité thermique d'un gaz . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
4.
Coefficient de viscosité d'un gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
5.
Coefficient de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.
Séparation isotopique par diffusion à travers un capillaire . . . . . .
. . . . . . . . .
7.
Conductibilité électrique d'un métal théorie élémentaire . . . . . .
. . . . . . . . . . .
8.
Résumé de cours : équation de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
9.
Importance du terme de collisions pour l'établissement
de l'équilibre
Solution générale de l'équation de Boltzmann . . . . . . . . . . . . .
.
10.
Conductibilité électrique d'un gaz d'électrons non dégénéré . . . .
. . . . . . . . .
11.
Conductibilité électrique dans les métaux . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
12.
Conductibilité électrique en présence d'un champ magnétique . . . .
. . . . . . . .
13.
Effet Hall dans un métal ou un semi-conducteur . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
14.
Effets thermoélectriques et conductibilité thermique d'un métal .
. . . . . . . . . .
15.
Effets Seebeck et Peltier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
16.
Calcul du coefficient de viscosité d'un gaz
à partir de l'équation de
Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.
Statistique de Gibbs des systèmes en interaction
1. Résumé de cours
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2.
Entropie d'un gaz décrit par l'ensemble microcanonique . . . . . . . . .
. . . . . . . .
3.
Modèle d'Einstein d'un solide représenté
par un ensemble microcanonique . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Fonctions thermodynamiques dans l'ensemble canonique
de Gibbs description pseudo-classique . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Relation entre l'entropie et le volume de l'espace des phases
occupé par
un système représenté par l'ensemble canonique . . . . . . . . . . . .
. .
6.
Fonctions thermodynamiques dans l'ensemble canonique
de Gibbs description quantique . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.
Fonctions thermodynamiques dans l'ensemble grand canonique . . . . . . . . . . .
.
8.
Fonctions thermodynamiques dans l'ensemble grand canonique lorsque
le grand potentiel est exprimé en variables V, b
et n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.
Propriétés d'un gaz parfait monoatomique
à partir des ensembles
canonique et grand canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.
Répartition à l'équilibre et fonctions thermodynamiques d'un gaz de
fermions sans interaction à partir de l'ensemble
grand canonique . . . . . . . . . .
11.
Répartition à l'équilibre et fonctions thermodynamiques d'un gaz de
bosons
sans interaction à partir de l'ensemble
grand canonique . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.
Fluctuations dans l'ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
13.
Fluctuations dans l'ensemble grand canonique
du nombre total de particules et de l'énergie interne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.
Fluctuations dans l'ensemble grand canonique pour
les systèmes de particules sans interaction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.
Étude des gaz non parfaits à partir de l'ensemble canonique :
calcul du
premier coefficient du développement du Viriel . . . . . . . . . . . . .
. .
16.
Thermodynamique de la substance ferromagnétique à partir du modèle
d'Ising méthode du champ moléculaire (champ de
Weiss) . . . . . . . . . . . . . . .
17.
Modèle d'Ising méthode de Bragg et Williams . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
18.
Paramagnétisme et antiferromagnétisme d'une substance . . . . . . . . .
. . . . . . .
19.
Application du modèle d'Ising à l'équation d'état
d'un gaz réel : équation d'état de Yang et Lee
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.
Modèle d'Ising à une dimension solution exacte . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
21.
Susceptibilité magnétique d'une chaîne de spins . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
22.
Changement de phase ordre-désordre dans les alliages . . . . . . . . . .
. . . . . . .
23.
Solution du modèle d'Ising en deuxième approximation :
méthode de Bethe
ou méthode quasi-chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Appendices
1.
Équation
de Schrödinger d'une particule dans un potentiel V(x) . . . . . . . .
. . .
2.
Calcul
du facteur de dégénérescence des niveaux d'énergie de translation . . .
3.
Niveaux
d'énergie de translation, de rotation, de vibration
et électroniques
d'une molécule diatomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
4.
Moment
cinétique en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
5.
Moment
magnétique d'un atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
6.
Probabilités
thermodynamiques des statistiques classique et quantiques . . . . .
7.
Développement
asymptotique des intégrales
de Sommerfeld méthode de Blankenbecler . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.
Solution
générale d'une équation aux dérivées partielles
linéaire du premier
ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
Index
des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
