Table des matières

I. Origine des théories quantiques

1. Les quanta de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les photons d'Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. L'atome de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Les conditions de quanta de Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Le principe de correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Les ondes de Louis de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Conséquences de la nature ondulatoire des particules matérielles . . . .

8. L'équation des ondes en l'absence de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. L'équation des ondes de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Spin et relativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Valeurs propres et fonctions propres des opérateurs

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Opérateurs et fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Relations de non commutation entre opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Divers types d'opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Valeurs propres et fonctions propres d'un opérateur . . . . . . . . . . . . .

2. Spectres discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Système orthonormé des fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Représentation d'une fonction
    par une somme de fonctions orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Opérateurs de projection et décomposition spectrale d'un opérateur

d. Fonction d'un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Fonctions propres de deux opérateurs commutants . . . . . . . . . . . . . .

f. Représentation symbolique des fonctions et des opérateurs . . . . . . .

3. Spectres continus et spectres mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Propriété des fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Représentation des fonctions par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Notations symboliques, vecteurs et matrices continus . . . . . . . . . . . .

d. Exemples divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Spectres mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. Les équations fondamentales de la mécanique quantique

1. Opérateurs et grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. L'équation aux valeurs propres de l'opérateur hamiltonien . . . . . . . . . .

3. L'équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Équation de conservation de la probabilité de présence . . . . . . . . . .

c. Sources et puits de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Conditions imposées à la fonction d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Séparation des parties réelle et imaginaire
    de la fonction d'onde (formalisme matriciel) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Le centre de gravité du fluide de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Définition générale de la valeur moyenne d'une grandeur . . . . . . . . .

c. Dérivées par rapport au temps et constantes du mouvement . . . . . . .

d. Relations entre les grandeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Intérêt des valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Particule chargée dans un champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . .

a. L'équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. L'invariance de jauge (ou invariance électromagnétique)
    de l'équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Solution générale de l'équation des ondes et son interprétation . . . . . .

a. Spectre discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Spectre continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Spectre mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Valeurs moyennes pour les ensembles purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Valeurs moyennes pour les mélanges (ensembles statistiques) . . . . .

f. La fonction densité r(r, r') . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g. Le propagateur de l'équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . .

h. La méthode des " trajectoires imaginables " de Feynman . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV. Distribution statistique des diverses grandeurs physiques

1. Calcul de la probabilité P(a).da pour qu'une grandeur
    physique ait une valeur comprise entre a et a ± da . . . . . . . . . . . . . . .

a. Développement de Y(q, t)
    suivant les fonctions propres de l'opérateur A . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Calcul par les valeurs moyennes <Aⁿ> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Expression générale de la probabilité et principes
    généraux de la mécanique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. L'espace des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Transformation de Fourier
    appliquée à la fonction Y(r, t) de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. L'équation d'évolution de la fonction F(p, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. La fonction densité dans l'espace des moments
    et dans l'espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les relations d'incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Formules générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Exemples divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Choix des variables compatibles pour la détermination de Y(r, t)

4. Le rôle du temps en mécanique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Les moyennes dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. La distribution statistique de l'énergie et l'espace mixte (r, W) . . . .

d. Relation d'incertitude relative au temps et à l'énergie . . . . . . . . . . . .

e. Le point matériel en l'absence de Champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f. Source à décroissance exponentielle par rapport au temps . . . . . . . .

g. La forme habituelle de la quatrième relation d'incertitude . . . . . . . .

5. Les phénomènes d'interférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Nature statistique des prévisions dans les théories quantiques . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V. Transformations unitaires. Représentations matricielles

1. Transformations unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Conservation des valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Transformation des opérateurs pour une translation finie . . . . . . . . .

d. Transformation des opérateurs pour une rotation finie . . . . . . . . . . .

e. Évolution du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f. Probabilités de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g. Renversement du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Les matrices de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Les matrices de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Transformation des matrices dans un changement de représentation

e. Matrices continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Représentation intermédiaire ou d'interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Formalisme matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Formalisme opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. La matrice densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Système régi par une seule fonction d'onde (cas pur) . . . . . . . . . . . .

b. Le système est un mélange statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI. L 'approximation quasi-classique

1. Séparation de l'amplitude et de la phase de la fonction d'onde . . . . . . .

2. L'approximation de la mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. L'approximation quasi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. L'interférence des trajectoires classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Franges d'interférences électroniques par déviation électrostatique . . .

6. Déplacement des franges d'interférences par un potentiel-
    vecteur A dont l'induction magnétique B est nulle . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Particules dans un champ magnétique uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Voisinage de l'image d'une fente source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Source pouvant émettre dans toutes les directions . . . . . . . . . . . . . .

c. Familles de trajectoires d'énergie W dont les centres
    sont sur un cercle de rayon r₀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. L'ancienne théorie des quanta et les conditions de Bohr - Sommerfeld

9. Pénétration dans les régions interdites par la dynamique classique . . .

10. Franchissement d'une barrière de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Particule de charge q dans un champ électrique uniforme . . . . . . . . . .

a. Vitesse de la particule colinéaire au champ électrique . . . . . . . . . . .

b. La vitesse d'une particule à une composante non nulle
    dans une direction perpendiculaire au champ électrique . . . . . . . . . .

c. Famille de trajectoires passant par un point fixe z₀
    de l'axe de révolution oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Les grands nombres quantiques et le principe de correspondance . . .

13. L'approximation quasi-classique dans l'espace des moments . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII. Potentiel dépendant d'une seule variable

1. L'oscillateur harmonique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Les états quantifiés de l'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Solutions générales de l'équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. La mécanique des matrices de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. L'espace des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Opérateurs de création et d'annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Particule de charge q dans un champ électrique uniforme . . . . . . . . . . .

a. La fonction d'onde dans l'espace des moments . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. La fonction d'onde dans l'espace des coordonnées . . . . . . . . . . . . . .

3. Barrière de potentiel rectangulaire (effet tunnel) . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Oscillations à travers une barrière de potentiel par effet tunnel . . . . . .

5. Potentiel en forme de cuvette rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Valeurs quantifiées de l'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Expression des fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Loi de décroissance du nombre des particules enfermées
    dans une cuvette de potentiel (modèle de radioactivité a) . . . . . . . . . .

7. Potentiel périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Propriétés des fonctions propres liées à la périodicité de U(x) . . . .

b. Continuité des fonctions Y et de leurs dérivées . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Las bandes d'énergie permises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIII. Les moments cinétiques

1. Définitions et relations de non commutation
    pour le moment cinétique orbital L_u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Valeurs propres et fonctions propres des opérateurs J_u
    obéissant aux relations de non commutation de L_u . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Relations de récurrence entre les fonctions propres de J² et J_z . . . . . .

4. Représentation matricielle des opérateurs du moment cinétique . . . . . .

5. Le moment cinétique orbital en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . .

6. Éléments de matrice relatifs au vecteur g_u = x_u/r . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Relation entre le laplacien et les opérateurs du moment cinétique . . . .

8. Calcul des éléments de matrice <j'm'|g_u|jm>
    sans expliciter les fonctions |jm> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Valeurs propres et fonctions propres communes à (n, J) et (J)² . . . . . .

10. Addition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX. Le point matériel en l'absence de champ

1. Les ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. L'onde plane monochromatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Superposition d'ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Source plane à décroissance exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Diffraction des particules par Une fente dans lin écran plan . . . . . . .

e. Domaine unidimensionnel limité à l'intervalle (0, a) . . . . . . . . . . . .

f. Domaine parallélépipédique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les ondes sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Formules générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Ondes progressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Sources et puits de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Comportement des solutions pour r ® 0 et r ® ¥ . . . . . . . . . . . . . .

e. Ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f. Développement en série d'une onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g. Particule dans un trou sphérique de rayon a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

h. Diffraction des particules par une sphère impénétrable de rayon . . .

i. Interférences de deux sources ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les ondes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Solution des problèmes de diffraction par les équations intégrales . . .

a. Obstacles n'ayant pas de points à l'infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Les sources et les obstacles ont la symétrie cylindrique . . . . . . . . . .

c. Écrans plans infiniment minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Le demi-plan mince et impénétrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Solution générale de l'équation de Schrödinger en présence de sources

a. Solution suggérée par la solution de l'équation de la chaleur . . . . . .

b. Relation entre le noyau G(x_u, t, x_u, t)
    et la fonction de, Jacobi classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Problème de condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Source ponctuelle à débit constant, agissant à partir du temps t = t₀

e. Source ponctuelle à décroissance exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . .

f. Source ponctuelle du type dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g. Le principe de Huygens déduit d'une identité très générale . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X. Potentiels constants, linéaires ou quadratiques

1. Diffusion d'une particule par un potentiel constant
    limité à une sphère de rayon a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Solutions de l'équation de Schrödinger quand r < a . . . . . . . . . . . . .

b. Solution du problème et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. L'oscillateur harmonique dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Oscillateur anisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Oscillateur isotrope en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . .

c. Oscillateur iso trope en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. L'oscillateur harmonique spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Oscillateur anisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Oscillateur isotrope en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . .

c. L'oscillateur isotrope en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . .

4. Particule de charge q dans un champ magnétique uniforme . . . . . . . . . .

a. Premier type de fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Deuxième type de fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Particule de charge q dans un champ électrique uniforme . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI. Énergie potentielle à symétrie sphérique

1. Caractères généraux des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les états stationnaires des atomes hydrogénoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Fonctions propres en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. L'approximation quasi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Mouvement du centre de gravité de la probabilité associé à
    un paquet d'ondes voisines d'un grand nombre quantique N . . . . . . .

d. Fonctions propres en coordonnées paraboliques . . . . . . . . . . . . . . .

e. Fonctions propres dans l'espace des moments . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les états à énergie positive dans le potentiel coulombien . . . . . . . . . . .

a. Les étais non liés des atomes hydrogénoïdes
    (cas où l'énergie W est nulle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Potentiel répulsif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Diffusion d'une particule incidente dont la quantité de
    mouvement est connue pour z = - ¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XII. Méthodes d'approximation (états permanents)

1. Théorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Grosses perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Équation intégrale conduisant à une théorie générale
    des perturbations stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Méthodes variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Détermination de l'énergie dans l'état fondamental . . . . . . . . . . . . . .

b. Détermination de l'énergie et de la fonction propre
    correspondant à un état excité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Méthode plus générale utilisant une combinaison
    linéaire de plusieurs fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. L'énergie potentielle tout entière considérée comme une perturbation

a. Formules générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Diffusion élastique d'une particule par un potentiel V(r) . . . . . . . . .

c. L'approximation de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Méthodes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Discrétisation et équations aux différences finies . . . . . . . . . . . . . . .

b. Méthodes variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIII. Méthodes d'approximation
(Perturbations dépendant du temps)

1. Formules générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Équations exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. L'équation intégrale relative à l'opérateur d'évolution . . . . . . . . . . .

d. L'énergie potentielle tout entière
    considérée comme une perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Perturbation agissant entre les instants t₁ et t₂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Formules générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. La perturbation est constante dans l'intervalle (t₁, t₂) . . . . . . . . . . . .

c. Le module de (dP_mn/dt) est constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Variation du type exp (-at) quand t > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Représentation de a perturbation par une intégrale de Fourier . . . . .

3. Passage d'un état permanent à un autre état permanent . . . . . . . . . . . . .

a. Variation discontinue de l'hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Variation quelconque de l'Hamiltonien
    et approximation du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Variation lente de la perturbation quand t > t₀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Forme matricielle des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Solution approchée et conditions de validité . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Probabilité P_k(t) de trouver le système dans l'état d'énergie W_k(t)

d. Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Perturbation périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Transitions entre les niveaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Passage d'un niveau discret à un niveau du spectre continu . . . . . . .

6. Transitions dans le spectre continu en présence
    d'une perturbation indépendante du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Influence d'une impulsion électromagnétique plane
    sur une particule chargée dans un état stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Calcul des coefficients C_m(¥) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Calcul de l'énergie transportée par l'impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Section de choc efficace dans l'absorption ou l'émission induite . . .

d. Largeur des raies d'absorption ou d'émission induite . . . . . . . . . . . .

8. Influence d'un rayonnement isotrope
    sur un électron dans un état stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Probabilités d'émission ou d'absorption induites . . . . . . . . . . . . . . .

b. Équilibre d'un rayonnement isotherme
    et probabilités de transitions spontanées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. L'effet photo-électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Influence d'une onde électromagnétique plane sur un électron libre

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIV. L'émission spontanée des raies spectrales
(Théorie semi quantique)

1. Théorie semi-quantique du rayonnement basée sur
    les distributions continues de charges et de courants . . . . . . . . . . . . . .

a. Formules générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Expression de la densité de charge et de la densité de courant . . . . .

c. Les potentiels de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Les champs de rayonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Calcul de l'énergie moyenne rayonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les divers types de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Développement en série de l'exponentielle
    figurant dans l'intégrale de A_mn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Rayonnement dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Rayonnement quadrupolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Théorie générale des rayonnements multipolaires . . . . . . . . . . . . . .

3. Théorie semi-quantique
    basée sur le mouvement des charges ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Théorie classique du rayonnement
    d'une charge ponctuelle en mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Théorie semi-quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Critique des théories
    semi-quantiques du rayonnement spontané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Durée de vie des niveaux excités
    et largeur naturelle des raies d'émission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Le spectre des atomes hydrogénoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Règles de sélection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Intensité des raies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Effet Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Effet Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. La diffusion de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Formules générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Diffusion Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Diffusion Raman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Diffusion Compton sur électron libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XV. Notes diverses

Note 1 : Opérateurs de déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Opérateurs de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Opérateurs de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Note 2 : Propriétés des fonctions S_nl(r) de l'oscillateur
              harmonique spatial et isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Passage de S_nl à S_(n-1)(l-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Calcul de l'intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Passage de S_nl à S_(n-1)(l-1) et inversement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Expression des fonctions S_nl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Note 3 : Propriétés des fonctions S_nl(r)
              des atomes hydrogénoïdes (chapitre XI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Passage de S_nl à S_(n+1)l et inversement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Calcul de l'intégrale I_nl^(-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Calcul de l'intégrale I_nl^(-2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Relations entre les fonctions S_nl ayant le même indice l . . . . . . . . . .

e. Passage de S_nl à S_n(l-1) et inversement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f. Relations entre les fonctions S_nl ayant le même indice n . . . . . . . . . .

g. Expression condensée de S_nl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

h. Calcul des intégrales U(n, 1, p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Note 4 : La fonction hypergéométrique confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Comportement pour |z| grand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Valeurs numériques des constantes physiques fondamentales . . . . . . . . . .

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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