Préface
du tome I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
I.
Notations et rappel de formules mathématiques
1.
Scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2.
Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
3.
Inversion d'une correspondance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
4.
Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
5.
Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
6.
Quelques identités vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
7.
Transformation des intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
8.
Convergence ou divergence de quelques intégrales . . . . . . . . . . . . .
.
9.
Continuité ou discontinuité de quelques intégrales . . . . . . . . . . .
. . . .
10.
L'angle solide W
sous lequel, d'un point P, on voit une surface
S limitée par une courbe C . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.
L'angle f
sous lequel, d'un point P du plan, on
voit
les extrémités A1 et A2 d'une courbe C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.
Propriétés de quelques laplaciens singuliers . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
13.
L'identité de Green pour un scalaire y (x,
y, z) . . . . . . . . . . . . . . . .
14.
L'analogue de l'identité de Green pour un vecteur A(x, y, z) . . . .
. .
15.
Identités relatives à deux vecteurs A(x, y, z) et B(x, y, z)
. . . . . . . . .
16.
Théorème relatif à l'intégrale de volume du produit scalaire
de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.
Déplacement arbitraire des points d'un milieu continu . . . . . . . . . . .
18.
Variation des densités volumiques dans le déplacement
des points d'un milieu . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.
Passage des coordonnées cartésiennes
aux coordonnées quelconques . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.
Définition et propriétés relatives au tenseur métrique . . . . . . . . .
. .
21.
Les composantes d'un vecteur A en coordonnées quelconques . . . . .
22.
Produits de vecteurs en coordonnées quelconques . . . . . . . . . . . . . .
23.
Tenseurs et tenseurs adjoints en coordonnées quelconques . . . . . . .
24.
Transformation des expressions contenant les dérivées partielles
25.
Coordonnées orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
26.
Propriétés des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
II.
Les sources ponctuelles du champ électrostatique
1.
La
loi de coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
a.
Les deux types d'électricité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b.
Expression de la loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c.
Introduction d'un coefficient k dans la loi de Coulomb . . . . . . . . . .
d.
Introduction du facteur 4p
et de la constante e0 . . . . . . . .
. . . . . . .
e.
La charge électrique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
f.
Importance des forces mises en jeu par la loi de Coulomb . . . . . . .
g.
Les limites de la loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
2. La
charge électrique ponctuelle (unipôle) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
a.
Le champ électrique E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
b.
Le potentiel scalaire V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
c.
La fonction flux F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
d.
Valeurs moyennes du potentiel et du champ . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
e.
Les superpotentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
f.
L'induction électrique B* et les systèmes de courants
magnétiques
fictifs associés à la charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . .
g.
La densité de polarisation fictive P associée à la charge
ponctuelle et le potentiel de polarisation p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h.
L'hypothèse de la polarisation du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
3. Le
dipôle électrique ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
a.
Définition et potentiel scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
b.
Densités volumiques singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
c.
Champ électrique et lignes de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
d.
Expression du moment par une intégrale de surface . . . . . . . . . . . .
e.
La fonction flux F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
f.
Valeurs moyennes du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
g.
Le potentiel de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
h.
Le potentiel-vecteur et l'induction électrique . . . . . . . . . . . . . .
. . .
i.
La polarisation du vide et le superpotentiel . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
4. Le
quadrupôle électrique ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a.
Définition et expression du potentiel scalaire . . . . . . . . . . . . . .
. . .
b.
Le tenseur symétrique du moment quadrupôlaire . . . . . . . . . . . . . .
c.
Le potentiel du quadrupôle en coordonnées sphériques . . . . . . . . .
d.
Les densités volumiques singulières
correspondant au quadrupôle ponctuel . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
e.
Le quadrupôle ayant la symétrie de révolution . . . . . . . . . . . . . .
. .
5.
L'octopôle
et la théorie générale des multipôles ponctuels . . . . . . . . .
a.
L'octupôle ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Le multipôle de rang n ou 2n-pôle . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
III.
Distributions de sources ponctuelles
1. Systèmes
de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a.
Le principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
b.
Moments multipolaires d'une charge ponctuelle
par rapport à l'origine O des coordonnées . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c.
Moments en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
d.
Moments d'un système de plusieurs charges . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
e.
Surfaces équipotentielles et lignes de force du champ électrique
f.
Système de deux charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
g.
Trois charges disposées sur une même droite . . . . . . . . . . . . . . .
. .
h.
Système formé de 4 charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
i.
Construction des réseaux de courbes V = Cte et F = Cte . . . . . . . . .
j.
Suite infinie de charges identiques disposées
régulièrement sur une droite . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
k.
Suite infinie de charges alternativement positives
et négatives, disposées régulièrement sur une droite
. . . . . . . . . . .
l.
Charges positives sur la demi-droite z < 0 et charges
négatives sur la demi-droite z > 0 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2. Systèmes
de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Moments multipolaires d'un dipôle ponctuel
par rapport à l'origine des coordonnées . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
b.
Généralités sur les systèmes de plusieurs dipôles . . . . . . . . . . .
. .
c.
Systèmes de deux dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
d.
Dipôles régulièrement disposés sur une droite indéfinie . . . . . . . .
3. Systèmes
mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Moments multipolaires par rapport à l'origine d'un système
formé de
plusieurs types de sources ponctuelles . . . . . . . . . . . . . .
b.
Superposition d'un dipôle et d'une charge en un même point O . . .
c.
Un dipôle et une charge dans la direction du moment dipolaire . . .
d.
Dipôle dans un champ uniforme E0 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
e.
Deux dipôles et une charge coïncidant avec l'un des dipôles . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
IV.
Distributions linéaires
1.
Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Distributions
de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Distributions
de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
2.
Distributions sur un segment de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a.
Distribution
uniforme de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Variation
linéaire de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
c.
Distributions
uniformes de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Distributions
sur une demi-droite indéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Distribution uniforme de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
b.
Deux demi-droites opposées et ayant des charges de même signe
c.
Deux demi-droites opposées et de signes contraires . . . . . . . . . . .
d.
Variation linéaire de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
e.
La densité est une fonction développable en série entière . . . . . .
.
f.
Charge ponctuelle à l'extrémité d'une demi-droite
uniformément chargée de même signe . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
g.
Distributions uniformes de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
4.
Distributions
sur une droite indéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Distributions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
b.
Distributions sinusoïdales de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
c.
Distributions périodiques de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
d.
Distributions sinusoïdales de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
e.
Distributions du type l = k zn . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Distributions
sur des circonférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Distribution
uniforme de charges sur une circonférence . . . . . . . . .
b.
Deux
circonférences uniformément chargées . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
V.
Distributions linéaires cylindriques
(sources ponctuelles dans le plan)
1.
Les
sources linéaires a deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
a.
Distribution
uniforme de charges sur une droite indéfinie . . . . . . .
b.
Distribution
uniforme de dipôles normaux : Dipôle linéaire . . . . .
c.
Le
quadrupôle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
d.
Les
multipôles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
2.
Les
systèmes de plusieurs charges linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
a.
Formules générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
b.
Moments multipolaires d'une charge linéaire
par rapport à l'origine . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c.
Moments multipolaires d'un système de charges linéaires . . . . . . .
d.
Équipotentielles et lignes de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
e.
Deux lignes identiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
f.
Deux lignes de charges opposées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
g.
Une ligne dans un champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
h.
Quatre droites sur l'axe des x
et symétriques par rapport à l'origine . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
i.
Suite infinie de droites régulièrement espacées sur l'axe des x . . . .
j.
Suite infinie de droites alternativement positives et négatives . . . .
k.
Quatre lignes disposées aux sommets d'un carré ou d'un rectangle
l.
n lignes identiques disposées régulièrement sur une circonférence
m.
Distribution régulière de lignes alternativement
(+) et (-) dans tout le
plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Les
systèmes formés de plusieurs dipôles linéaires . . . . . . . . . . . . .
.
a.
Formules générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
b.
Système formé par deux dipôles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
c.
Suite infinie de dipôles parallèles sur une droite . . . . . . . . . . . .
. .
4.
Systèmes
mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Formules générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
b.
Dipôle linéaire dans un champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
VI.
Distributions superficielles
1.
Propriétés
générales des distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . .
a.
La densité superficielle s . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Potentiel et densité volumique singulière . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c.
Unicité de la solution du problème de conditions aux limites . . . . .
d.
Le champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
e.
Moments multipolaires de la distribution par rapport à un point O
f.
Le théorème de Gauss pour les distributions superficielles . . . . . .
g.
Fonction flux des systèmes de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
2.
Propriétés
générales des distributions de dipôles . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Le potentiel de polarisation et les densités du moment dipolaire
b.
Le potentiel scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
c.
Le potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
d.
Le champ électrique E et l'induction électrique B* . . . . . . . . . . . .
.
e.
Moments multipolaires de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
f.
Relation entre le champ des distributions superficielles de
charges, le
potentiel des distributions superficielles de
dipôles et le
potentiel des distributions linéaires de charges . . . . .
3.
Distributions
sur une plaque rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Distribution uniforme de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Distributions de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
4.
Distributions
sur un disque circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Distribution uniforme de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Distribution de charges du type 
. . . . . . . . . . .
c.
Distribution uniforme de dipôles normaux . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
d.
Distributions de dipôles tangentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
5.
Distributions
sue un plan indéfini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
a.
Distribution du type s
= s0.j0
(m, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Distribution uniforme de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c.
Deux plans parallèles et de signes contraires . . . . . . . . . . . . . . .
. .
d.
Intersection de plusieurs plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
e.
Distribution uniforme de dipôles normaux . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
6.
Distributions
sur un cylindre de section circulaire . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Distribution sinusoïdale sur un cylindre indéfini . . . . . . . . . . . .
. .
b.
Distribution uniforme sur un demi-cylindre s'éloignant à
l'infini dans la direction des z négatifs . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
c.
Distribution uniforme sur la surface latérale
d'un cylindre de longueur
finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d.
Droite indéfinie de densité linéaire l
= - k z
et cylindre coaxial portant des charges opposées . . . .
. . . . . . . . . .
e.
Deux cylindres coaxiaux portant des densités opposées l
= ± k z
7.
Distributions
sur un cône de révolution de hauteur infinie . . . . . . . . .
a.
Distribution uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b.
Distribution développable en série entière
au voisinage du sommet . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
8.
Distribution
sur une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
a.
Distribution uniforme de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Relation entre le potentiel extérieur Ve
et le potentiel
intérieur Vi
d'une distribution de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c.
Distribution de charges produisant à l'extérieur le même potentiel
qu'un multipôle de révolution placé au centre de la sphère . . . .
. .
d.
Distributions de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
9.
Distribution
fictive s, t
équivalente a une distribution
intérieure ou extérieure . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Distribution extérieure à une surface fermée . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Distribution intérieure à une surface fermée . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
VII.
Distributions superficielles cylindriques
(distributions linéaires du plan)
1.
Propriétés
générales des distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Potentiel et densité r . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Le champ électrique E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
c.
La fonction flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
d.
Moments multipolaires de la distribution par rapport à l'origine
2.
Propriétés
générales des distributions de dipôles . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Le potentiel de polarisation p . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Le potentiel scalaire V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
c.
Le potentiel vecteur A* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
d.
Le champ E et l'induction B* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
3.
Distributions
sur un segment de droite du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Distribution uniforme de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Développement en série du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c.
Deux segments parallèles et de signes contraires . . . . . . . . . . . . .
.
d.
Deux segments parallèles et de mêmes signes . . . . . . . . . . . . . . .
.
e.
Quatre segments disposés sur les côtés d'un carré . . . . . . . . . . .
. .
f.
Distribution du type 
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
g.
Distribution uniforme de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
4.
Distributions
sur une demi-droite indéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Distribution uniforme de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Superposition de deux demi-droites uniformément chargées . . . . .
c.
Distribution du type 
sur le demi-plan x < 0
. . . . . . .
d.
Distribution uniforme de dipôles normaux . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
5.
Droite
indéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
6.
Circonférence
dans le plan xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
a.
Distribution uniforme de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Relations entre Ve
et Vi pour une distribution quelconque s(M)
c.
Distribution de charges produisant à l'extérieur le même potentiel
qu'un multipôle linéaire placé au centre de la
circonférence . . . . .
7.
Distribution
fictive s, t,
équivalente a une distribution
extérieure (ou intérieure) à une courbe fermée C . .
. . . . . . . . . . . . . .
a.
Distribution extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b.
Distribution intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
VIII.
Distributions volumiques
1.
Propriétés
générales des distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . .
a.
La densité volumique r . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Potentiel et définition de r sur la surface . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
c.
Unicité de la solution du problème de conditions aux limites
pour
l'équation e0 DV
= - r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
d.
Le champ électrique et ses relations avec le potentiel
des distributions superficielles . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
e.
Moments multipolaires de la distribution par rapport à un point O
2.
Propriétés
générales des distributions de dipôles . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Le potentiel de polarisation et la densité de moment dipolaire . . . .
b.
Le potentiel scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
c.
Le potentiel-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
d.
Le champ électrique E et l'induction électrique B* . . . .
. . . . . . . .
e.
Moments multipolaires de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
3.
Distributions
de multipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
4.
Étude de quelques distributions particulières . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a.
Distribution uniforme dans un cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Distribution entre 2 plans parallèles ne dépendant que
de la coordonnée
dans la direction perpendiculaire . . . . . . . . . . . .
c.
Distribution dans un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
d.
Distribution dans une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
e.
Distribution dans un ellipsoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
IX.
Distributions volumiques cylindriques
(distributions superficielles dans le plan x, y)
1.
Propriétés
générales des distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Expression du potentiel et définition de r sur la limite . . . . . . . . .
.
b.
Fonction flux et potentiel complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c.
Développement en série de multipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
d.
Le champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
2.
Propriétés
générales des distributions de dipôles . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Le potentiel de polarisation p . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Le potentiel scalaire V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
c.
Le potentiel vecteur A* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
d.
Le champ électrique E et l'induction B . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
e.
Moments multipolaires de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
3.
Distribution
dans un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
a.
Point P à l'extérieur de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
b.
Point P à l'intérieur de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
c.
Calcul du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
d.
Cas où l'un des côtés du rectangle est rejeté à l'infini . . . . . . .
. . . .
4.
Distribution
dans une circonférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Distribution uniforme de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
d.
Distribution uniforme de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
5.
Distribution
dans une ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
a.
Distribution uniforme de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
d.
Couche de densité uniforme entre deux ellipses semblables . . . . .
c.
Distribution uniforme de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
X.
Méthodes de calcul numérique relatives aux distributions
1.
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2.
Systèmes
plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
a.
Développement autour d'un point régulier dans le vide . . . . . . . . .
b.
Distributions superficielles de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
c.
Distributions superficielles de dipôles normaux . . . . . . . . . . . . . .
.
d.
Distributions volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
3.
Systèmes
de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a.
Formules générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
b.
La méthode d'approximation de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
c.
Développement en série du potentiel autour d'un point régulier . . .
d.
Emploi des coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
e.
Développement en série du potentiel de part et d'autre
d'une distribution superficielle de charges . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
f.
Distributions volumiques de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
4.
Limitation
des domaines infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
a.
Systèmes plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
b.
Systèmes de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
5.
Calcul
de quelques distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
a.
Systèmes plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
b.
Systèmes
de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
XI.
Les forces et l'énergie
1.
Distributions
de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
a.
Distribution
donnée dans un champ extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Interaction
des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
c.
Expression
de l'énergie en fonction du champ . . . . . . . . . . . . . . . .
d.
Le
tenseur de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
e.
L'énergie
propre des particules élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Distributions
de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
a.
Distributions
données dans un champ extérieur . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Interaction
des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
c.
Express
ion de l'énergie en fonction du champ . . . . . . . . . . . . . . . .
d.
Le
tenseur de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
3.
Forces
sur les multipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Multipôle
dans un champ E0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
b.
Interaction
des multipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
XII.
Notes diverses
1.
Distributions
présentant une symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Symétrie
de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
b.
Symétrie par rapport à un plan . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Les
équations de l'électrostatique en coordonnées quelconques . . . . .
a.
Le champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b.
Le potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
c.
Les courants magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
d.
Correspondance entre le champ Ew
d'un système de charges
électriques et l'induction
Buv
du système associé de courants magnétiques . . .
. . . . . . . . . . . . . .
e.
Forme lagrangienne des équations de l'électrostatique . . . . . . . . . .
f.
Forme hamiltonienne des équations de l'électrostatique . . . . . . . . .
g.
Les équations de l'électrostatique s'obtiennent
en annulant la variation
d'une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Les
distributions mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a.
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
b.
Les distributions d
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c.
Distributions définies par une fonction et ses dérivées . . . . . . . . .
.
d.
Les fonctions généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
e.
Distributions définies par des valeurs principales de Cauchy . . . .
4.
Développement
en série, au voisinage d un point des
solutions de l'équation fondamentale de l'électrostatique
. . . . . . . . . .
a.
Solutions de l'équation sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . .
.
b.
Cas où f n'est pas nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
c.
Développement en série
d'une solution régulière dans le vide (f = 0) . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
d.
Voisinage de la courbe qui limite une distribution de
charges sur une
surface conique, cylindrique, ou plane . . . . . . . . .
e.
Distributions volumiques point M0
sur l'arête de base
d'un cylindre de révolution . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
