I. Introduction aux signaux et aux systèmes1. Le concept de signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Le concept de système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Filtrage linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Notions sur la représentation des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Énergie et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. Représentations de Fourier1. Séries de Fourier de signaux périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Principales propriétés des séries de Fourier de signaux périodiques . . . 4. Séries de Fourier de signaux limités dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Transformées de Fourier de signaux d'énergie finie . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Principales propriétés des transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . c. Exemples de transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Transformées de Fourier de certains signaux d'énergie infinie . . . . . . . . a. La fonction impulsion unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Transformées de Fourier de signaux périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . c. Signal " peigne de Dirac " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Transformée de Fourier de l'échelon unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Signaux réels à bande étroite, amplitude instantanée et phase instantanée a. Signal analytique d'un signal réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Amplitude et phase instantanées d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Application au cas des signaux à bande étroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Représentations de Fourier des signaux à temps discret . . . . . . . . . . . . . a. Séries de Fourier et transformées de Fourier discrètes . . . . . . . . . . . . b. Transformées de Fourier de signaux à TD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Principe de la transformée de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. Représentations de Laplace1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Exemples de transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Inversion de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Inversion des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Principales propriétés de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 7. Transformation en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définitions, notations et domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . b. Exemples de TZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Inversion de la transformée en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Principales propriétés de la transformée en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Transformée en z de signaux échantillonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV. Du temps continu au temps discret par échantillonnage1. Principe et théorème d'échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. La formule d'échantillonnage et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Échantillonnage et représentation des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Échantillonnage et interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Cadence minimum d'échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Position exacte des instants d'échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Position exacte de la bande de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f. Commentaires pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Échantillonnage et filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. La transformation d'échantillonnage T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Structure physique de la transformation T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Interprétation du théorème d'échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Repliement du spectre, sur et sous-échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . 4. Échantillonnage et représentation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V. Filtrage linéaire1. Principales définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Propriétés fondamentales des filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Causalité des filtres linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Causalité et réponse percussionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Causalité et fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Causalité et réponse en fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Filtres dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définitions et propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Représentations des filtres dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Réponses des filtres dynamiques à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . d. Réponses des filtres dynamiques à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI. Propriétés du second ordre des signaux aléatoires1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Loi temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Valeurs moyennes du premier et du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Moyennes à un instant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Moyennes à deux instants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Propriétés de la fonction de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Exemples de fonctions de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Exemples d'usage des fonctions de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Filtrage linéaire des signaux aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Densité spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Formule des interférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Conséquences de la formule des interférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Formules des interférences généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Interprétations physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Ergodisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Signaux à bande étroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Propriétés du signal analytique aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Propriétés de l'amplitude et de la phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Échantillonnage des signaux aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Analyse des signaux aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Continuité en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Dérivation en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Sommation et intégration en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . 10. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII. Modèles de signaux aléatoires1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Bruits blancs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Bruits blancs à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Bruits blancs à temps discret et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . c. Bruits blancs à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Signaux Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définition des signaux gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Signaux gaussiens à bande étroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Transformations non-linéaires instantanées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Processus de Poisson et signaux associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Intervalles de temps entre points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Effet de grenaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Basculeur Poissonnien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Modèles paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Signaux autorégressifs (AR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Résolution des équations normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Signaux à moyenne mobile (MA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII. Principaux résultats sur les variables aléatoires1. Variables aléatoires scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Espérances et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Exemples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Variables aléatoires à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Vecteurs aléatoires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Fonction caractéristique de vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Loi normale multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX. Solutions des exercices1. Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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107 107 17 108 109 110 110 111 112 114 115 115 116 117 118 118 121 123 124
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137 138 143 144 145 145 148
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