Table des matières

I. INTRODUCTION

1. Sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. RAPPEL DE CALCUL DES PROBABILITÉS.
VARIABLES ALÉATOIRES

1. Axiomes de la théorie des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Probabilité et fréquence relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Interprétations alternatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Théorèmes et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Variable aléatoire, fonction de probabilité,
    fonction de répartition et densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Distribution conjointe de plusieurs variables aléatoires . . . . . . . . . . . . .

5. Distribution conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Fonctions de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Fonction d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Fonction de deux variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. n fonctions de n variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Fonction caractéristique, cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Cas de plusieurs variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Références pour lectures complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. PROCESSUS ALÉATOIRES

1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Spécification d'un processus aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Fonctions moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Fonctions cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Fonctionnelle caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Processus stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Propriétés des fonctions de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Moyenne temporelle, théorème d'ergodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Décomposition spectrale d'un processus aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Cas de deux processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Processus périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Références pour lectures complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV. PROCESSUS GAUSSIEN. PROCESSUS DE POISSON

1. Variable aléatoire gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Variables conjointement gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Processus aléatoire gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Impulsions aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Shot noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Références pour lectures complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V. RÉPONSE ALÉATOIRE D'UN OSCILLATEUR LINÉAIRE 
A UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

1. Relation entrée-sortie pour un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. L'oscillateur à un degré de liberté faiblement amorti . . . . . . . . . . . . . . .

3. Réponse stationnaire à une excitation aléatoire stationnaire . . . . . . . . . .

4. Réponse stationnaire de l'oscillateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Réponse transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Excitation à support positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Cas d'une excitation faiblement stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Excitation instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Moments spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Calcul des moments spectraux pour l'oscillateur linéaire . . . . . . . . . .

c. Formules de Rice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Enveloppe d'un processus en bande étroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Distribution conjointe de la réponse et de sa dérivée temporelle . . . . . .

9. Distribution de probabilité de l'enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Références pour lectures complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI. RÉPONSE ALÉATOIRE D'UN SYSTÈME LINÉAIRE
À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ
(SYSTÈMES DISCRETS ET SYSTÈMES CONTINUS)

1. Rappel de quelques notions de dynamique des structures . . . . . . . . . . . .

a. Équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Relation entrée-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Décomposition modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Équation du mouvement sous forme d'état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Amortissement structural et héréditaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f. Excitation sismique unidirectionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Réponse à une excitation aléatoire stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Rôle des cross-corrélations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Importance de l'amortissement non classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Remarques sur l'implémentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Structures continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Fonctions d'influence Relation entrée-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Réponse stationnaire à une excitation stationnaire
    et spatialement homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Structure possédant des modes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Exemple : vibration d'un barreau dans un écoulement axial turbulent

7. La réponse d'un building dans le sens du vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Forces aérodynamiques dans le sens du vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Modélisation du vent dans la couche limite atmosphérique . . . . . . . . .

c. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. La réponse d'un avion à la turbulence atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . .

a. Les opérateurs aéroélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Description statistique de la turbulence atmosphérique . . . . . . . . . . . .

c. Réponse d'une section typique à une turbulence unidimensionnelle . . .

d. Portance induite sur une aile par une turbulence bidimensionnelle . . .

e. Formulation générale discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII. RELATION ENTRÉE-SORTIE
POUR LES SYSTÈMES PHYSIQUES (CAS STATIONNAIRE)

1. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Fonction de cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Effet du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Références pour lectures complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIII. DESCRIPTION SPECTRALE
DE PROCESSUS INSTATIONNAIRES

1. Objectifs d'une représentation spectrale instationnaire . . . . . . . . . . . . . .

2. Réponse d'une batterie de filtres en bande étroite . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Densité de puissance spectrale instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Processus localement stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Oscillateur panant du repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Le spectre physique de Mark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Dualité temps-fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Relation asymptotique pour un processus stationnaire . . . . . . . . . . . . .

7. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Analyse spectrale d'accélérogrammes sismiques . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Réponse structurale à un Sweep Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Le spectre évolutif de Priestley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Analyse harmonique généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Spectre évolutif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Processus multivariés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Relation entrée-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f. Relation entrée-sortie pour un système sous forme d'état . . . . . . . . . . .

g. Relation avec le spectre physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

h. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Références pour lectures complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX. PROCESSUS DE MARKOV

1. Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Classification des processus aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Processus purement aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Définition d'un processus de Markov, équation de Smoluchowski . . . . .

5. Processus à incréments indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Processus markoviens et variables d'état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Processus markovien gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Marche au hasard et équation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Marche au hasard d'une particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Marche au hasard d'une particule retenue élastiquement . . . . . . . . . . .

9. Équation de Fokker - Planck unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Solution de l'équation de Fokker - Planck unidimensionnelle . . . . . . . .

a. Solution stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Solution instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Remplacement d'un processus réel par un processus de Markov . . . . .

12. Équation de Fokker - Planck multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Remplacement d'un processus réel par un processus de Markov.
      Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14. Le mouvement brownien de l'oscillateur à un degré de liberté . . . . . . .

15. Systèmes stochastiquement équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16. Markovianisation d'ordre croissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17. Références pour lectures complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X. RUINE ENTRAÎNÉ PAR DES VIBRATIONS ALÉATOIRES

1. Modes de ruine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Franchissements d'un seuil de niveau b, passages par zéro . . . . . . . . . . .

3. Distribution des maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Distribution de l'enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Définition de Crandall & Mark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Définition de Rice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. La transformée de Hilbert. Définition de Cramer & Leadbetter . . . . .

d. Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. Définition énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f. Distribution conjointe des valeurs de l'enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Taux de franchissement d'un seuil par l'enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Clump-size, taille moyenne des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Problème du premier passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Position de problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Hypothèse de franchissements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Hypothèse des franchissements de l'enveloppe indépendants . . . . . . .

d. Approche basée sur la taille moyenne des groupes . . . . . . . . . . . . . . .

e. Modèle de Vanmarcke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f. Approche basée sur le processus en temps discret des extrema . . . . . .

8. Premier passage et équation de Fokker - Plank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Processus markovien multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Dérivation de l'équation de Fokker - Planck
    unidimensionnelle de l'enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Facteur de pic (peak factor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Liaison avec la fiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Formules approchées pour le facteur de pic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Ruine par fatigue entraînée par des sollicitations aléatoires . . . . . . . .

11. Références pour lectures complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI. LA TRANSFORMÉE DE FOURIER DISCRÈTE

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Prolongement périodique et échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Théorème de Shannon (ou théorème d'échantillonnage) . . . . . . . . . . . . .

5. La série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Développement en série de fonctions orthogonales . . . . . . . . . . . . . . .

b. Développement en série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Le phénomène de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. Relation avec la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Développement graphique de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Développement analytique de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Définition de la transformée de Fourier discrète(DFT) . . . . . . . . . . . . . .

9. Propriétés de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Relation avec la transformée continue et la série de Fourier . . . . . . . . .

11. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Effet Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Leake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Réduction du leader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. L'algorithme de la Fast Fourier Transform (FFT) en base 2 (N = 2^m)

14. Convolution et corrélation via la PET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. Convolution et corrélation périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. Approximation de la convolution continue par la convolution discrète

15. Application de la FFT
      à la simulation d'échantillons d'un processus gaussien . . . . . . . . . . . . .

16. Références pour lectures complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BIBLIOGRAPHIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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