NOTATIONS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
INTRODUCTION
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
I.
Viscosité et conductibilité thermique
1.
Mise en évidence expérimentale de la viscosité : Expérience de Couette .
. . .
2.
Fluides visqueux et non visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
3.
Coefficients de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Interprétation et calcul de la viscosité par la théorie cinétique des
gaz . . . . . .
5.
La viscosité: agent de transport de quantité de mouvement.
Écoulement de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.
Conduction thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
7.
Interprétation et calcul de la conductibilité thermique
par la théorie
cinétique des gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
8.
Diffusivité thermique. Nombre de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
9.
Rappels des propriétés de l'air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
II.
Nombre de Reynolds.
Effets de fluide visqueux en aérodynamique
1.
Expérience de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
3.
Signification physique du nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
4.
Effets visqueux sur l'écoulement autour d'un cylindre circulaire . . . . .
. . . . . .
5.
Effets visqueux sur l'écoulement autour d'un corps profilé . . . . . . . .
. . . . . . . .
6.
Le concept de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
7.
Classification des écoulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
III.
Équations du mouvement et évolution du tourbillon
en fluide visqueux
1. Équation
de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
2.
Tenseur des contraintes dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
3.
Tenseur des vitesses de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
4.
Relation contraintes-vitesses de déformation . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
5. Équations
de Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
6. Équation
de l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
7. Équation
de l'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
8. Évolution
du tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
a.
Équation du tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
b.
Interaction tourbillon-gradient de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
c.
Problèmes de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
9.
Portance, circulation et tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
a.
Calcul de la portance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
b.
Établissement de la circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c.
Origine du tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
IV.
Equations de couche limite bidimensionnelle
1.
Fluides à faible viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Équations
de la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
3.
Caractères des équations. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
4. Équations
de la couche limite en écoulement compressible . . . . . . . . . . . . . .
.
5.
Couches limites des corps de révolution. Transformation de Mangler . . . .
. . .
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
V.
Équations globales Interaction couche limite.
Écoulement extérieur
1.
Définition des équations globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2.
Grandeurs caractéristiques de la couche limite . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
3.
Signification physique des épaisseurs caractéristiques . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
4. Équations
globales de la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Équation globale de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
b.
Équation globale de quantité de mouvement ou équation de Von Kàrmàn
c.
Calcul de la traînée d'un profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
d.
Équation globale d'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
e.
Équation globale de l'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
5.
Interaction entre l'écoulement extérieur et la couche limite . . . . . . .
. . . . . . . .
a.
Notion de déplacement de l'écoulement extérieur . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
b.
Raccord entre l'écoulement extérieur et la couche limite . . . . . . . . .
. . . . . .
6.
Revue des équations.
Extension au cas des couches limites des corps de révolution
. . . . . . . . . . . . .
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
VI.
Établissement des équations de couche limite par la théorie des
développements asymptotiques. Structure de quelques
solutions.
Théorie de la triple couche
Équations
de couche limite
1.
Principe de l'analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Région externe Région interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
3.
Développement externe. Développement interne . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
4. Équations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
a.
Équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Équations du premier ordre dans la région externe équations d'Euler . . .
. .
c.
Équations du premier ordre dans la région interne équations de Prandtl .
. .
5.
Conditions de raccordement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
6.
Raccordement entre la couche limite et le fluide parfait . . . . . . . . . .
. . . . . . .
Structure de quelques solutions des équations de couche limite
7.
Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.
Principe d'étude de solutions singulières . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
9.
Application à la structure de la solution au voisinage du décollement . .
. . . . .
a.
Solution en amont du point de décollement . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b.
Solution en aval du point de décollement . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
Théorie de la triple couche ("
Triple Deck ")
10.
Structure et équations du modèle de la triple couche . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
VII.
Couche limite laminaire incompressible.
Solutions auto-semblables
1.
Rappel des hypothèses et des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
a.
Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Équations de la couche limite dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
c.
Problèmes thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2.
Couche limite laminaire de plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
a.
La solution exacte de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
b.
Représentations approchées du profil de vitesse
et calcul de la couche limite . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Solutions auto-semblables de Falkner - Skan et Hartree . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Recherche de solutions auto-semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b.
Solutions de Falkner - Skan et Hartree . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
c.
Résultats pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
d.
Solutions avec courant de retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
4.
Représentation polynomiale de Pohlhausen des profils de vitesse
en gradient de pression . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Bilan d'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
VIII.
Résolution numérique des équations de couche limite
1.
Solutions exactes et solutions approchées . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2.
Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Examen d'un problème type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
a.
Problème considéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Discrétisation des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
c.
Résolution des équations discrétisées . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
d.
Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Méthodes de résolution par différences finies
des équations de la couche limite . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Méthode de volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
6.
Méthode de Keller (Keller's box) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
7.
Méthode de Krause (" Mehrstellenverfahren ") . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
IX.
Méthodes intégrales
1.
Principe des méthode intégrales étude : du cas de la plaque plane .
. . . . . . . .
2. Écoulement
avec gradient de pression méthode simplifiée . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Méthode de Von Kàrmàn - Pohlhausen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
4.
Méthode intégrale avec équation auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
a.
Équation de l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
b.
Équation d'entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
5.
Problème du décollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
6.
Méthodes inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
X.
Notions sur le couplage fluide parfait couches visqueuses
1.
Notion élémentaire de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2.
Examen d'un problème modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
a.
Pose du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Formulation du problème discrétisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c.
Étude de la stabilité du processus itératif . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
3.
Méthodes inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Méthode simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Exemple d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Géométrie. Distribution de vitesse en fluide parfait . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b.
Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.
Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
XI.
Effets de compressibilité
1.
Rappel des équations Grandeurs caractéristiques . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
a.
Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Grandeurs caractéristiques de la couche limite dynamique . . . . . . . . .
. . . .
c.
Grandeurs caractéristiques de la couche limite thermique . . . . . . . . .
. . . . .
2. Étude
de solutions particulières P = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
a.
Paroi athermane Gradient de pression quelconque . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
b.
Loi de Crocco dp/dx = 0 ; Tp= cste ; P = 1 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Couche limite de plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
a.
Variables de Crocco Solutions auto-semblables . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
b.
Solutions approchées avec pm constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
c.
Formules pratiques pour évaluer les effets de compressibilité d'une couche
limite de plaque plane. Enthalpie de référence . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Influence des gradients de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
a.
Solutions auto-semblables. P = 1 ; m ~ T . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
b.
Autres solutions de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
6.
Calcul des couches limites laminaires en fluide compressible . . . . . . . .
. . . .
a.
Revue des résultats pratiques pour la plaque plane . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
b.
Influence des gradients de pression modérés méthode intégrale
simplifiée
c.
Méthode intégrale avec équation auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
d.
Résolution numérique des équations locales . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
e.
Exemples d'applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
XII.
Notions sur les effets de dissociation de l'air
1.
Caractéristiques des écoulements étudiés . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
a.
Échauffement cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
b.
Températures élevés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
c.
Autres caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
2. État
d'un mélange gazeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
a.
Caractéristiques du mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
b.
Équation d'état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
c.
Enthalpie et température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
d.
Réactions chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
e.
Loi d'action de masse. Composition de l'air à l'équilibre chimique . . . .
. . .
3. Équations
du mouvement d'un mélange gazeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
a.
Équation d'état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Équations de bilan des espèces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c.
Équations de quantité de mouvement et d'énergie . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
d.
Coefficients de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
4. Écoulement
de couche limite pour un mélange gazeux . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
a.
Équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
c.
Nombres de Prandtl, de Lewis et de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
d.
Gaz à l'équilibre chimique ou gaz figé . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
e.
Gaz diatomique en dissociation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
5.
Solutions de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
b.
Point d'arrêt Solutions de Fay - Riddell . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
c.
Résultats Formules de Fay - Riddell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
6.
Calculs de couche limite sur la navette spatiale . . . . . . . . . . . . . .
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Bibliographie
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INDEX
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