Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
I.
GÉNÉRALITÉS SUR LA MESURE DES GRANDEURS
1.
Notion de grandeur en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
a.
Grandeur mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Mesure d'une grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c.
Changement d'unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
d.
Unités dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
e.
Systèmes cohérents d'unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
2. Équations
aux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Exemple de changement d'unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
b.
Exemple de vérification de l'homogénéité d'une formule . . . . .
3.
Caractère approximatif des lois physiques . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
a.
Les erreurs systématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Les erreurs accidentelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
4.
Incertitudes absolues et relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
5.
Théorème des erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
a.
Erreur absolue sur une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
b.
Erreur sur un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
c.
Erreur sur une expression monôme quelconque . . . . . . . . . . . .
d.
Mesures non indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
II.
CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIEL
1.
Position du point matériel : systèmes des coordonnées . . . . . . . .
a.
Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Coordonnées intrinsèques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c.
Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
d.
Système d'axe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
2.
Vitesse du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Coordonnées intrinsèques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c.
Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
d.
Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
e.
Coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
3.
Accélération du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
c.
Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
d.
Coordonnées intrinsèques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
4.
Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Mouvement rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c.
Vecteur rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
d.
Mouvement hélicoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
5.
Mouvement à accélération centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
a.
Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
b.
Formules de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
6.
Composition des vitesses et des accélérations . . . . . . . . . . . . . .
.
a.
Vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
b.
Accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
III.
DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL
1.
Principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
2.
Relativité de la mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
3.
Statistique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Point matériel libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
b.
Point matériel soumis à des liaisons sans frottement . . . . . . . .
c.
Point matériel soumis à des liaisons avec frottement . . . . . . . .
4. Équations
du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Système d'axes cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
b.
Équations intrinsèques du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
c.
Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
5.
Quelques exemples de mouvements ponctuels . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Point matériel soumis à la pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
b.
Point matériel soumis à une force centrale de rappel
proportionnelle à l'élongation . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
c.
Particule dans un champ électrique uniforme . . . . . . . . . . . . . .
d.
Particule dans un champ magnétique uniforme . . . . . . . . . . . . .
e.
Particule dans des champs magnétique et électrique uniformes
IV.
THÉORÈMES FONDAMENTAUX DE LA DYNAMIQUE
D'UN POINT MATÉRIEL
1.
Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a.
Quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
c.
Forces centrales. Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
2.
Théorème de l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
b.
Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
c.
Théorème de l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
3.
Force dérivant d'un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
4.
Loi de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
V.
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES DE POINTS MATÉRIELS
1.
Statique des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
a.
Principe de l'action et de la réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
b.
Résultante générale. Moment résultant . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
2.
Centre de masse d'un système de points matériels . . . . . . . . . . . .
3.
Mouvement du centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
4.
Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a.
Premier théorème de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
b.
Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
5.
Théorème de l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Deuxième théorème de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
b.
Théorème de conservation de l'énergie totale . . . . . . . . . . . . . .
6.
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
VI.
INTRODUCTION A LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE
1.
Coordonnées généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
2.
Principe de moindre action. Équations de Lagrange . . . . . . . . . . .
3.
Système de points matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Point matériel libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
b.
Système de points matériels en interaction . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Conservation de l'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
5.
Conservation de l'impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
6.
Conservation du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
7.
Exemple d'application: pendule mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
8. Équations
de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
9.
Crochets de poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
10.
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
VII.
L'OSCILLATEUR HARMONIQUE
1.
Oscillateur harmonique à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
a.
Étude du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
b.
Application du théorème de l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . .
2.
Exemples d'oscillateurs harmoniques à une dimension . . . . . . . . .
a.
Ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
b.
Pendule de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
c.
Oscillateur harmonique approché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
3.
L'oscillateur harmonique avec amortissement . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Oscillations forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
5.
Oscillateur à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
a.
Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Recherche des intégrales premières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
VIII.
L'INTERACTION COULOMBIENNE
1.
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
2.
Réduction du problème à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
a.
Quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Énergie cinétique du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
3.
Trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
a.
La force de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
b.
Méthode de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
c.
Méthode de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
d.
Méthodes des intégrales premières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
e.
Méthode géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
4.
Mouvement des planètes: lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
5. État
libre d'un système coulombien: diffusion de Rutherford . . . .
a.
Section efficace de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b.
Diffusion coulombienne dans le système du centre de masse
6.
Système du laboratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
IX.
CINÉMATIQUE RELATIVISTE
1.
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
2.
La transformation de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
3.
Addition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
4.
Contraction des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
5.
Dilatation du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
X.
DYNAMIQUE RELATIVISTE
1.
Le moment et la masse en relativité restreinte . . . . . . . . . . . . . .
.
2.
Équivalence de la masse et de l'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
3.
Transformation relativiste de l'énergie et de l'impulsion . . . . . . .
4.
Force agissant sur une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
5.
Principe de moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a.
Action d'un point matériel libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
b.
Énergie et impulsion d'une particule libre . . . . . . . . . . . . . . . .
Appendice
A : RAPPELS D'ANALYSE VECTORIELLE
1.
Scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2.
Vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3.
Composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
4.
Sommes et produits par des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
5.
Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
6.
Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
7.
Résolution d'un système d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . .
. .
Appendice
B : RAPPELS SUR LA RÉSOLUTION
D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
1.
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
2. Équations
différentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Équation
différentielle à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Équation
différentielle générale du premier ordre . . . . . . . . . . . .
5. Équation
différentielle du second ordre à coefficients constants
BIBLIOGRAPHIE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
