Table des matières

I. L'ESPACE-TEMPS

1. L'espace et le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Repérages galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Repères galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Chronologies galinéennes. Principe de l'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Synchronisation des horloges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Changement de repérage galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Les différents repères galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Transformations spéciales de Lorentz. Relativité du temps . . . . . . . . . . . . . . .

9. Intervalle entre deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. L'espace-temps de la cinématique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. DÉRIVATION VECTORIELLE

1. Dérivation temporelle des vecteurs de module constant . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Formule fondamentale de la dérivation temporelle d'un vecteur . . . . . . . . . . .

3. Champ des vitesses dans un solide parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Etude des différents mouvements d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Composition des accélérations. Théorème de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. DYNAMIQUE DE LA PARTICULE

1. Le postulat de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Le postulat dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Le postulat de l'action et de la réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Bases de projection particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Énergie potentielle d'interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV. L'INTERACTION GRAVITATIONNELLE. LES FORCES D'INERTIE.
LE CHAMP DE PESANTEUR TERRESTRE

1. L'interaction gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Identité de la masse d'inertie et la masse gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Le champ gravitationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Les équations locales du champ gravitationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Équation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Application du théorème de Gauss aux corps à symétrie sphérique . . . . . . . . .

7. Changements de repères non galiléens. Forces d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Exemples d'utilisation des forces d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Le champ de pesanteur terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. La nature des forces d'inertie. Principe d'équivalence d'Einstein . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V. FORCES CENTRALES

1. Forces centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Satellite à trajectoire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Oscillateur spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Oscillateur linéaire harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Vibrations d'un système de deux particules liées élastiquement . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI. CHOC DE DEUX PARTICULES

1. Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Chocs élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Le repère barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Étude du choc élastique dans le repère barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Le choc élastique dans le repère du laboratoire (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Chocs inélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Choc sur une paroi fixe, rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII. TORSEUR CINÉTIQUE. TORSEUR DYNAMIQUE

1. Torseur cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Centre d'inertie. Expression de la quantité de mouvement totale . . . . . . . . . . .

3. Repère barycentrique (on repère du centre des masses).
    Théorème de König . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Théorème de König pour l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIII. OPÉRATEUR D'INERTIE

1. Opérateur d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Axes principaux d'inertie d'un solide en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Moment cinétique d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Énergie cinétique d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Formules d'Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Calculs de matrices d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX. DYNAMIQUE DES SYSTÈMES

1. Torseur des forces extérieures (cas d'un système de particules) . . . . . . . . . . .

2. Torseur des forces extérieures (cas d'un système quelconque) . . . . . . . . . . . .

3. Additivité des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Exemples de distribution des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Loi fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Cas de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Le théorème du moment cinétique dans le repère barycentrique . . . . . . . . . . .

8. Changements de repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Théorème de l'action et de la réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Théorème de l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Méthode de résolution d'un problème de mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X. ACTIONS DE CONTACT ENTRE SOLIDES

1. Contact entre solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Glissement. Pivotement. Roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Lois du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Cas de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Puissance des actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Oscillations avec frottement de glissement (frottement solide) . . . . . . . . . . . .

8. Exemple de mesure du coefficient de frottement f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Roulement d'une sphère sur un plan incliné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI. SYSTÈMES A MASSE VARIABLE

1. Systèmes ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Transfert de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Mouvement du centre d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Fusée à étage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Fusée à plusieurs étages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XII. SYSTÈME DE DEUX PARTICULES

1. Mouvement relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Repère barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Étude du mouvement relatif pour un système isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Trajectoires barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Formules de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIII. LE CHAMP EN r^-2

1. Équation polaire de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Genre de la conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Étude du mouvement elliptique (k > 0 et E < 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Étude du mouvement hyperbolique attractif (k < 0 et E < 0) . . . . . . . . . . . . . .

5. Mouvement des astres. Lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Satellites artificiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Mouvement hyperbolique répulsif (k > 0 et E  > 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. L'expérience de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIV. OSCILLATEURS

1. Oscillateur spatial amorti par frottement fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Oscillateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Trajectoire de l'oscillateur spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Oscillations forcées. Résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Résonance de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Oscillateur linéaire à plusieurs degrés de liberté (couplage) . . . . . . . . . . . . .

7. Analogies électromécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XV. NOTIONS DE DYNAMIQUE TERRESTRE

1. L'équation fondamentale de la dynamique terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Le champ de pesanteur terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Mise en évidence de la force de Coriolis déviation vers l'est . . . . . . . . . . . . .

4. Le pendule de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XVI. SOLIDE MOBILE AUTOUR D'UN AXE FIXE.
SOLIDE MOBILE AUTOUR D'UN POINT FIXE

1. Moment cinétique. Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Mouvement du centre d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Les équations de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Mouvements pendulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Angles d'Euler. Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Équation d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Mouvement libre. Nutation eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Mouvement de la toupie symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Précession stationnaire d'une toupie symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XVII. CINÉMATIQUE RELATIVISTE

1. Expériences de Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. La matrice de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Changement de repère pour la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. L'expérience de Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Le phénomène d'aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Contraction des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Dilatation des durées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Simultanéité. Ordre temporel des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Quadrivecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Notation de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Le principe de relativité restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XVIII. LE QUADRIVECTEUR QUANTITÉ DE MOUVEMENT-ÉNERGIE

1. Expression de l'énergie cinétique d'une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Inertie de l'énergie formule d'Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Conservation de l'énergie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Conservation de la quantité de mouvement dans un choc . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Le quadrivecteur quantité de mouvement-énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. L'effet Doppler - Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIX. CHOCS RELATIVISTES

1. Conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les différents repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Chocs élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Diffusion Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Seuil de réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Repère lié à une particule exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Réactions d'annihilation et de désintégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XX. RELATION FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE

1. Relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Le quadrivecteur force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Formules de transformation des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Action et réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Force constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

APPENDICE : TORSEURS

1. Définition d'un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Invariants d'un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Axe central d'un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

5

6

7

8

8

10

11

14

15

16

17

19

20

21

23

25

27

28

28

30

30

32

33

34

37

38

39

39

41

43

44

45

46

51

53

54

58

60

64

66

67

68

72

73

74

75

76

80

81

82

84

84

 
85

86

88

89

90

91

91

94

95

101

104

104

106

106

108

109

109

110

111

111

114

116

117

117

118

120

122

123

124

127

128

130

140

140

140

141

143

145

147

148

149

151

153

153

153

155

157

157

161

163

165

167

169

170

175

176

180

182

187

188

190

193

200

202

204

206

209

216

218

218

220

222

225

227

228

230

233

234

240

242

244

245

247

249

250

252

253

255

255

256

259

263

265

266

267

269

272

272

274

275

278

280

283

286

290

290

292

293

293

296

301

301

301