I.
LE MILIEU CONTINU : UNE MODÉLISATION
1.
Échelle et modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Concepts généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Description lagrangienne du mouvement d'un milieu continu . . . . . . . . .
. . . . .
4.
Description eulérienne du mouvement d'un milieu continu . . . . . . . . . .
. . . . . .
5.
Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
ÉTUDE DES DÉFORMATIONS DU MILIEU CONTINU
1.
Transport convectif et déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2.
Formules de transport dans une transformation homogène d'un milieu continu
3.
Déformations dans une transformation homogène d'un milieu continu . . . .
. . .
4.
Déformations d'un milieu continu : cas général . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
5.
Hypothèse de la transformation infinitésimale . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
6.
Compatibilité d'un champ de déformation linéarisée . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
7.
Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS TRIDIMENSIONNELS
1.
Transport convectif et déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2.
Description eulérienne de la cinématique des déformations
dans un
mouvement de transformation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
3.
Description eulérienne de la cinématique des déformations
dans un
mouvement quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
4.
Dérivées particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
IV.
L'APPROCHE DES PUISSANCES VIRTUELLES
POUR LA MODÉLISATION DES EFFORTS
1.
Problématique de la représentation des efforts . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2.
Dualisation et puissances virtuelles pour un système de points matériels .
. . .
3.
La méthode des puissances virtuelles
appliquée à un système de points
matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
La méthode des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
5.
Première approche de la représentation des efforts
pour le milieu continu :
théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.
REPRÉSENTATIONS DES EFFORTS INTÉRIEURS
POUR LE MILIEU CONTINU TRIDIMENSIONNEL
1.
Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Représentation des efforts intérieurs par un champ scalaire :
notion de
pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
3.
Représentation des efforts intérieurs par un champ tensoriel :
notion de
contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
4.
Les contraintes en description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
5.
Récapitulation des approches effectuées . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
VI.
ÉTUDE DES CONTRAINTES DE CAUCHY
DANS UN MILIEU CONTINU TRIDIMENSIONNEL
1.
L'étude locale du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
2.
Notions pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Représentation de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Critères de limite d'élasticité pour les matériaux isotropes . . . . . .
. . . . . . . . .
ANNEXE
I. ÉLÉMENTS DE CALCUL TENSORIEL
1.
Tenseurs sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
2.
Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Décomposition d'un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
4.
Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Tenseurs sur un espace vectoriel euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
6.
Champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
ANNEXE
II. DÉRIVATION D'UN CHAMP DE TENSEURS : FORMULES
ESSENTIELLES EN MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
1.
Coordonnées cartésiennes orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2.
Coordonnées cartésiennes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3.
Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
4.
Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
