INTRODUCTIONPrésentation du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mécanique classique et Mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I. La mécanique classique du point matériel1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Cinématique classique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Trièdre trirectangulaire fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Trièdre mobile attaché aux coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . c. Trièdre de Serret - Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Dynamique classique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Travail. Énergie cinétique et potentielle. Fonction de forces . . . . . . . . . . c. Quantité de mouvement et moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Mouvement sous l'action d'une force centrale fonction de la distance . . . . b. Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Mouvement d'une particule chargée dans une induction magnétique . . . . . 5. Exercices et Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. Éléments de dynamique analytique1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Coordonnées curvilignes orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Équations de Lagrange en coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Extremum d'une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Expression du Lagrangien dans le cas d'une fonction de forces . . . . . . . . c. Lagrangien d'une particule chargée dans un champ électromagnétique . . . 4. Hamiltonien Équations d'Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Moment conjugué d'une variable de position, définition de l'Hamiltonien b. Expression de l'Hamiltonien d'une particule. Cas d'une fonction de forces c. Expression de l'Hamiltonien d'une particule. d. Équations d'Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Équations de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Exercices et Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. Ondes et particules1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Aspect particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Les particules élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. États de la matière. Atomes. Molécules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Physique de la matière et mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Physique des particules élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Physique du solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Physique des liquides et des gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Physique du solide déformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Mouvements vibratoires. Ondes mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Mouvement vibratoire périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Onde progressive plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Onde stationnaire plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Énergie transportée. Ondes sphériques-interférences . . . . . . . . . . . . . . . . e. Vitesse de phase et de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f. Équation de propagation des ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g. Liaison avec la mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Autres dispositifs d'interférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Aspect électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Effondrement de la physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Spectre de l'atome d'hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Effet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Diffraction des électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Franges d'interférence électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Exercices et Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV. Introduction mathématique à la mécanique quantique1. Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Produit scalaire de deux fonctions f(x) et g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Système orthonormé de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Système de fonctions orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Extension aux fonctions à valeur complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Développement d'une fonction en série de fonctions orthogonales . . . . . . . . 7. Distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Notion d'opérateur linéaire fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Produit d'opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Opérateur adjoint, opérateur hermétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Valeurs propres et fonctions propres d'un opérateur linéaire fonctionnel d. Cas d'un opérateur hermétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Extension à l'espace R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Exercices et Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V. Les conceptions fondamentales de la mécanique quantique1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Les postulats de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Existence d'une fonction d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Opérateur associé à une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Équation d'évolution de la fonction d'onde ou équation de Schrödinger d. Interprétation de la fonction d'onde y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Valeurs propres et fonctions propres des opérateurs enjeu . . . . . . . . . . . . f. Mesure d'une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Mesure simultanée de deux grandeurs. Relations d'incertitude . . . . . . . . . . . 4. La mécanique classique considérée comme 5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Exercices et Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI. Étude générale de l'équation de Schrödinger1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Caractères généraux des problèmes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Signification physique du signe de l'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. État lié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. État non lié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Caractères généraux des états non stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Application à des mouvements à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Particule rencontrant une barrière de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Particule dans un puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Autres formes usuelles de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. La fonction V(x) tend vers une limite commune E¥ pour x ® ± ¥ . . . . . . b. La fonction V(x) croît indéfiniment pour x ® ± ¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Aspect ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Mécanique quantique et complémentarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Confirmations expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Exercices et Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII. Étude d'un système de deux particules1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Le problème des deux corps en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Aspect quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Fonction d'onde d'un système de deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Équation de Schrödinger d'un système de deux particules . . . . . . . . . . . . . c. Signification physique de la fonction d'onde y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Système de particules indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Cas d'une interaction de caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Exercices et Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII. Étude de fonctions usuelles1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Les polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définition des polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Orthogonalité des polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Équation différentielle des polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Opérateur dont les polynômes de Legendre sont fonctions propres . . . . . . 3. Fonction de Legendre associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Opérateur associé à l'équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Orthogonalité des fonctions de Legendre associées . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Équation différentielle des polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Opérateur associé aux polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Relation d'orthogonalité généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Équation différentielle des polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Opérateur associé aux polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Relation d'Orthogonalité généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Polynômes de Laguerre associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Équation différentielle des polynômes de Laguerre associés . . . . . . . . . . c. Opérateur associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Relation d'Orthogonalité généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Fonction de Laguerre associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définition de la fonction G(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Définition des fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Équation différentielle des fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Allure des fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Formules de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f. Cas particulier n = n + ½ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g. Formes asymptotiques des fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Fonctions de Bessel sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Exercices et Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX. L'atome d'hydrogène1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Équation des états liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Introduction à l'étude des états liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Utilisation des coordonnées sphériques et séparation des variables . . . . . c. Résolution de l'équation en g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Résolution de l'équation en f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Forme finale de la fonction y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Signification du nombre entier n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Signification des entiers l et m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Récapitulation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. État fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. États excités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Vérifications expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Probabilité de transition. Règles de sélection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Introduction du spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Stabilité de l'Atome d'Hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Mouvement d'une particule dans un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Exercices et Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X. L'oscillateur harmonique1. L'oscillateur harmonique en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. L'oscillateur harmonique en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Résolution de l'équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Application aux spectres de vibration, rotation des molécules diatomiques 4. Cas de la molécule d'acide chlorhydrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Exercices et Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XI. Mécanique quantique et Physique Nucléaire
LA STRUCTURE DU DEUTON1. Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Calcul de l'énergie de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LA RADIOACTIVITÉ a1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Théorie de la radioactivité a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Expression de l'énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Détermination de la fonction d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Comparaison avec l'expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Exercices et Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APPENDICE I. L'opérateur Nabla en Coordonnées curvilignes
APPENDICE II. Rayonnement d'une particule chargée1. Potentiels retardés produits par une distribution de charges et de courants 2. Potentiels retardés produits par une particule chargée en mouvement . . . . . . 3. Expression des champs électrique et magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Cas des particules non relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APPENDICE
III.
|
1 3
7 7 8 8 9 9 9 10 12 13 13 16 17 19
21 21 24 26 30 31 36 40 45 45 47 50 53 58
61 61 61 62 64 64 65 65 66 66 66 67 69 69 70 72 72 74 74 77 83 86 87 89 90 91 92 96
100 101 102 102 103 105 106 108 109 111 112 114 115 116
120 122 122 123 125 127 128 129 130 142 142
145 146 148 148 149 150 151 151 153 159 170 170 173 174 174 177 178 179
182 185 187 187 189 190 192 192 193 194 200
202 202 202 203 206 207 208 208 208 209 210 212 214 214 214 215 216 216 218 218 218 219 219 220 221 221 221 222 222 224 227 227 229 230 231 231 232 233 233 235
240 243 243 243 246 250 254 255 255 257 265 266 268 270 273 273 273 274 274
277 278 278 279 282 284 288 289
291 293
296 297 297 298 299 306 308
316 317 319 323
|