I. Cinématique1. Étude des vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. L'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Systèmes de vecteurs glissants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Systèmes particuliers de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Étude des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définition de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Vitesses des points d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Surfaces en contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Mouvements plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Étude des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définition de l'accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. Cinétique1. Répartition des masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Centre et moments d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Tenseur d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Axes principaux d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Grandeurs associées aux vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Résultante et moment cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Composition des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Grandeurs associées aux accélérations . . . . . . . . . . . . . . . a. Forces d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Composition des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. Les principes de la mécanique1. Loi fondamentale de la mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Grandeurs fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Énoncé de la loi fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Corollaires de la loi fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Détermination des vecteurs forces . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Représentation des actions mécaniques intérieures . . . . f. Recherche des chronologies absolues . . . . . . . . . . . . . . 2. Théorèmes de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . a. Théorème de la résultante cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . b. Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Emploi d'axes issus du centre d'inertie . . . . . . . . . . . . . 3. Recherche des repères absolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Axes liés à la terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Axes issus du centre d'inertie de la terre . . . . . . . . . . . . c. Axes issus du centre d'inertie du système solaire . . . . . . d. Axes issus du centre d'inertie de l'Univers . . . . . . . . . . 4. Principes de la relativité restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Expérience de Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Transformation de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV. Problèmes de mécanique1. Problèmes de statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Forme des problèmes de statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Classification des liaisons par contact . . . . . . . . . . . . . . c. Étude de quelques liaisons par contact . . . . . . . . . . . . . d. Équilibre d'un losange et d'un disque . . . . . . . . . . . . . . . 2. Problèmes de dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Forme des problèmes de dynamique . . . . . . . . . . . . . . . b. Étude du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Mouvement d'un solide sur un plan . . . . . . . . . . . . . . . . d. Rotation d'un solide autour d'un axe . . . . . . . . . . . . . . . . e. Notions de mécanique des fils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f. Machine d'Atwood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Problèmes de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Forme des problèmes de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Centre de percussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Choc de deux sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Choc de trois sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Mouvements avec frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Mouvement d'un disque sur une droite . . . . . . . . . . . . . . b. Mouvement d'une sphère sur un plan fixe . . . . . . . . . . . . c. Mouvement d'une sphère sur un plan mobile . . . . . . . . . d. Mouvement d'un véhicule auto-propulsé . . . . . . . . . . . .
V. Travail et puissance1. Définitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . a. Travail d'une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Travail des forces extérieures appliquées à un solide c. Travail des efforts intérieurs dans un solide . . . . . . . . . d. Travail des efforts intérieurs dans un milieu déformable e. Travail des actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Théorème des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Théorème des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . b. Application à l'étude des équilibres . . . . . . . . . . . . . . . c. Cas particulier des puissances réelles . . . . . . . . . . . . . . d. Équilibre d'un losange et d'un disque . . . . . . . . . . . . . . . e. Équilibre d'un pentagone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f. Mouvement de la balançoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Systèmes d'unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Définition des unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Dimensions d'une grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Comparaison des différents systèmes d'unités . . . . . . . . d. La similitude en mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI. Équations différentielles1. Méthodes d'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Intégration au voisinage d'un point régulier . . . . . . . . . . b. Intégration au voisinage d'un point singulier . . . . . . . . . c. Définition des fonctions elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Mouvement d'un système de ressorts . . . . . . . . . . . . . . . c. Oscillations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Théorie des oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Classification des oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Intégration de l'équation x" + f (x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . c. Étude géométrique dans le plan des phases . . . . . . . . . . d. Mouvement pendulaire amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII. Mécanique analytique1. Systèmes holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Recherche d'intégrales premières . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Mouvement d'un point dans un plan en rotation . . . . . . . 2. Systèmes non-holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Problème du cerceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Étude du cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Problème de l'essieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Cas des liaisons comportant un asservissement . . . . . . . 3. Stabilité des équilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Cas où les forces dérivent d'un potentiel . . . . . . . . . . . . b. Équations des petits mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Stabilité des oscillateurs linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Étude générale de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Stabilisation des équilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Exemples de petits mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Petites oscillations du pendule multiple . . . . . . . . . . . . . b. Petites oscillations d'un fil pesant . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Mouvements voisins d'un mouvement stationnaire . . . . . d. Toupie réversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII. Mécanique du point1. Point matériel sur une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Mise en équations du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Problème du toboggan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Pendule circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Pendule cycloïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Point matériel sur une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Mise en équations du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Pendule sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Pendule de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Point matériel dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Mouvement d'un point pesant dans le vide . . . . . . . . . . . b. Mouvement d'un point pesant dans l'air . . . . . . . . . . . . . c. Mouvement sous l'action d'une force centrale . . . . . . . . d. Cas d'une loi d'interaction en r -5 . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Cas d'une loi d'interaction en r -3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . f. Cas d'une loi d'interaction en r -2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . g. Mouvement d'une particule électrisée . . . . . . . . . . . . . . h. Théorie des aurores polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Le problème des deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Énoncé du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Étude générale de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Calcul explicite de l'angle de déviation . . . . . . . . . . . . .
IX. Mécanique du solide1. Étude générale du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Mise en équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Mouvement de Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Mouvement de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Théorie du gyroscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Applications du gyroscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Stabilisation des équilibres apparents . . . . . . . . . . . . . . b. Théorie du monorail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. La boussole gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. La pendule gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. Le compas zénithal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Problèmes d'astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Calcul de l'équation du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. La précession des équinoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Lancement des satellites artificiels . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TABLES I. Racines de l'équation du troisième degré . . . . . . . . . . . . . . II. Fonctions elliptiques de Jacobi sn(t, k) . . . . . . . . . . . . . . . III. Fonctions elliptiques de Jacobi cn(t, k) . . . . . . . . . . . . . . IV. Fonctions elliptiques de Jacobi dn(t, k) . . . . . . . . . . . . . . V. Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 1 3 5 7 8 8 10 13 15 16 18 18 20
23 23 25 27 29 31 31 33 34 36 36 37
44 44 46 48 49 52 55 58 58 59 59 61 61 62 64 66 67 67 69 71
74 74 75 76 78 78 79 81 82 83 85 86 86 86 87 89 89 91 91 94 95 96
101 101 104 105 108 110 111 111 113 118 119 120 121 121 122 124 125 126
130 130 131 133 136 136 138 140 143 143 144 147 150
154 154 154 157 158 161 161 164 165 167 170 170 173 174 177 180 182 182 183 185 187
195 195 196 197 200 202 202 202 204 205 205 206 209 213 215 217 219 223 232 232 235 237
242 242 244 246 250 253 253 254 256 259 262 263 263 267 271
277
280
285 286 287 288 289
291
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