Table des matières

I. Champs de vitesses virtuelles

Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Définition et propriété fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Champ de vitesses virtuelles compatible avec une liaison . . . . . . . . . . . . . . .

3. Puissance, énergie potentielle. Puissance virtuelle, fonction de forces . . . . . .

4. Liaison parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Quelques conséquences d'ordre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Équations de Lagrange

Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Principe complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Théorème de l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Utilisation d'un repère relatif non-galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Intégrale première de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Méthode des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Mouvements en (dq/dt)² = f(q) (Pb. 2.7 et suivants) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Fonction de forces de Shering (Pb. 2.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Mouvements en (dq/dt)² = G(cos q, sin q) (Pb. 2.10 et suivants) . . . . . . . .

III. Vibrations linéaires. Petits mouvements

Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Positions d'équilibre paramétrique, théorème de Lejeune - Dirichlet ;
    système linéarisé, stabilité pour le système linéarisé (Pb. 3.1 et suivants)

2. Énergie cinétique réduite, fonctions de forces réduites (Pb. 3.2 et suivants)

3. Stabilisation gyroscopique ; vibration forcée (Pb. 3.3 et suivants) . . . . . . .

4. Couplage par amortissement ;
    critère de Routh - Hurwitz et de Lienard - Chipard (Pb. 3.7) . . . . . . . . . . .

IV. Formalisme hamiltonien

Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Fonction de Routh ; équation d'Hamilton - Jacobi (Ph. 4.1 et suivants) . . . .

2. Cas d'intégrabilité de Liouville (Pb. 4.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Crochet de Lagrange, crochet de Poisson ;
    transformations canoniques (Pb.4.8 et suivants) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V. Questions de stabilité

1. Trajectoires de phases d'un système linéaire homogène
    à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Trajectoires de phases d'un système autonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Stabilité et approximation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Méthode directe de Liapunov : fonction de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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