Table des matières

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I. Introduction

1. Propriétés de symétrie des systèmes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Définition d'un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Exemples de groupes ayant une application en physique . . . . . . . . . . . . . . .

4. Conditions d'invariance des équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Groupes abstraits

1. Translation dans un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Ordre d'un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Ensembles conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Éléments conjugués et classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Sous-groupe invariant (ou diviseur normal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Isomorphisme et homomorphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. Représentations des groupes finis

1. Définition de la représentation d'un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Exemples de représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Représentation du groupe de symétrie de l'équation de Schrödinger,
    à l'aide de ses fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Existence d'une représentation unitaire équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Représentations réductibles et irréductibles d'un groupe . . . . . . . . . . . . . .

6. Premier lemme de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Deuxième de lemme de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Relation d'orthogonalité entre les éléments matriciels
    des représentations irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Caractères des représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Représentation régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Nombre de représentations irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Calcul des caractères des représentations irréductibles . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV. Composition de représentations et produit direct de groupes

1. Produit direct de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Compositions de représentations d'un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Produit direct de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Représentations irréductibles du produit direct de groupes . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V. Théorème de Wigner

1. Symétrie d'un système quantomécanique
    par rapport à un groupe de transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Symétrie d'un système de particules en oscillations de petite amplitude . . .

3. Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI. Groupes ponctuels

1. Éléments des groupes ponctuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Groupes ponctuels et leurs représentations irréductibles . . . . . . . . . . . . . .

3. Classification des oscillations normales
    et des états électroniques de la molécule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII. Décomposition d'une représentation réductible
en représentations irréductibles

1. Construction des bases de représentations irréductibles . . . . . . . . . . . . . . .

2. Détermination des écarts symétrisés des noyaux d'une molécule . . . . . . . . .

3. Méthode de combinaison linéaire des orbites atomiques . . . . . . . . . . . . . .

Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIII. Les groupes spatiaux et leurs représentations irréductibles

1. Sous-groupe des translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Syngonies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Élément général d'un groupe spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Représentations irréductibles du groupe des translations . . . . . . . . . . . . . .

5. Étoile du vecteur k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Groupe du vecteur k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Représentations irréductibles des groupes spatiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Représentations irréductibles du groupe du vecteur k . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Représentations irréductibles d'un groupe spatial
      contenant des translations impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX. Classification des états vibratoires et électroniques du cristal

1. Classification des vibrations normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Classification des états électroniques du cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Approximation monoélectronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X. Groupes continus

1. Groupes continus d'applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Propriétés générales des groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Transformations infinitésimales et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . .

4. Groupe des rotations planes O⁺(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Groupe des rotations spatiales O⁺(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI. Représentations irréductibles
du groupe des rotations spatiales

1. Matrices infinitésimales des représentations du groupe O⁺(3) . . . . . . . . . .

2. Représentations irréductibles du groupe O⁺(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Représentations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Décomposition d'une représentation quelconque du groupe O⁺(3)
    en représentations irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Représentations irréductibles du groupe orthogonal O(3) . . . . . . . . . . . . . .

XII. Propriétés des représentations irréductibles
du groupe des rotations

1. Les fonctions sphériques comme base d'une représentation irréductible . . .

2. Composition de représentations irréductibles du groupe O⁺(3) . . . . . . . . .

3. Représentations tensorielles et spinorielles du groupe des rotations . . . . .

4. Représentations complexes conjuguées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIII. Quelques applications de la théorie des représentations
du groupe des rotations à des problèmes quantomécaniques

1. Particules dans un champ central.
    Moment orbital de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Règle de composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Théorème de Kramers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIV. Dégénérescence complémentaire dans un champ
ayant la symétrie sphérique

1. Dégénérescence complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Lien avec la mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Groupe de symétrie de l'atome d'hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Groupe de symétrie de l'oscillateur isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XV. Groupe des permutations

1. Description quantomécanique d'un système de particules ponctuelles . . . .

2. Groupe des permutations de n symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Représentations irréductibles du groupe S_n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XVI. Puissances symétrisées des représentations

1. Vecteurs et tenseurs sur un espace de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Matrices des permutations des indices tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Lien entre les représentations du groupe S_n et du groupe G
    dans un espace tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Caractères de puissances symétrisées d'une représentation . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XVII. Propriétés de symétrie
des fonctions d'onde poly électroniques

1. Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Propriétés de symétrie de la fonction d'onde spinorielles . . . . . . . . . . . . . .

3. Lien entre les symétries des fonctions d'onde de spin et de coordonnées

4. Propriétés de symétrie de la fonction d'onde des coordonnées . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XVIII. Propriétés de symétrie des fonctions d'onde d'un système
de particules identiques de spins quelconques

1. Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Théorème de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. s-Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Poids statistique d'un niveau énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Valeurs propres de l'opérateur de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIX. Classification des états d'un atome poly électronique

1. Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Relations entre les configurations et les termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Interaction spin-orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XX. Application de la théorie des groupes aux problèmes
liés avec la théorie des perturbations

1. Dissociation des niveaux d'énergie à l'apparition d'une perturbation . . . . .

2. Fonctions régulières de l'approximation zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Atome dans des champs magnétiques et électriques uniformes . . . . . . . . . .

4. L'atome dans le champ cristallin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XXI. Règles de sélection

1. Formulation générale des règles de sélection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Règles de sélections pour l'absorption et l'émission de lumière . . . . . . . . .

3. Règles de sélection pour la diffusion combinatoire
    de lumière par les molécules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Éléments matriciels construits sur les fonctions d'une base . . . . . . . . . . . . .

5. Théorème de Iahn - Teller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XXII. Le groupe de Lorentz et ses représentations irréductibles

1. Groupe de Lorentz généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Lien entre le groupe de Lorentz
    et le groupe des rotations quadridimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Relations de commutation pour les matrices infinitésimales . . . . . . . . . . . .

4. Représentations irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Produit direct de représentations irréductibles du groupe de Lorentz . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XXIII. Équation de Dirac

1. Équation relativiste invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Équation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Bispineur complexe conjugué de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Forme quadratique invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ANNEXES

Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Annexe au chapitre VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Index alphabétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3

4

6

7

9

10

10

11

11

12

13

14

14

16

17

18

 
19

21

23

25

26

 
27

30

31

32

34

35

36

37

40

41

43

 
47

51

56

56

58

 
63

66

67

69

74

75

76

77

79

81

83

84

85

86

87

 
88

90

91

95

96

99

100

101

104

105

106

107

108

110

113

 
115

116

117

120

123

125

127

 
128

130

131

134

138

139

140

143

147

148

150

155

156

157

 
158

159

161

162

163

166

168

170

171

173

175

176

177

178

179

180

182

173

186

188

189

182

197

199

 
200

203

206

209

210

 
213

214

215

2317

218

219

221

223

225

227

238

241

243