I.
ÉTUDE DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES
Régime
sinusoïdal
1. Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
a.
Équation du mouvementé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
b.
Équation différentielle du
mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Généralité du mouvement
sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Énergies mises en jeu dans le mouvement
sinusoïdal . . . . .
e. Exemples de mouvements
vibratoires . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Étude
de
l'amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Travail d'une force et
amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Étude du frottement
solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c.
Étude du frottement
visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Étude
des oscillations
forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Détermination du régime
permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Variation de la phase avec la
fréquence . . . . . . . . . . . . . . .
c. Variation de l'amplitude avec la
fréquence . . . . . . . . . . . . .
d. Intérêt et inconvénient de la
résonance . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Analogies
mécaniques-électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Transposition électrique des circuits oscillants
mécaniques
b. Analogie
acoustique-électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Exemples d'impédances
acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Notion générale
d'impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Circuits
couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Solutions forcées en régime
sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Notation d'impédance entre deux
points . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Pulsations et modes
propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e.
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
f. Impédance en un
point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Systèmes régis par des équations non linéaires
ou à coefficients
variables
1. Oscillations de
relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Exemple
mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Exemple
électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Exemple
acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Comparaison entre oscillations sinusoïdales et
relaxation
e. Synchronisation des oscillations de
relaxation . . . . . . . . . .
f.
Équation de van der
Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g.
Étude du cas
général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h. Fréquence des oscillations en régime
relaxatif . . . . . . . . . .
i. Régime quasi
sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Résonance
paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Exemples de systèmes non
linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Modèle simple
d'amplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Forme générale des
solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Variation du paramètre en créneaux
carrés . . . . . . . . . . . . .
e. Les amplificateurs
paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
GÉNÉRALISATION DU MOUVEMENT SINUSOÏDAL.
ANALYSE DE FOURIER
1. Séries de
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
a. Théorème de Fourier
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Calcul des
coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Expression des coefficients en
t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Représentation graphique
: spectres . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Forme complexe du
développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Fonction
carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
g. Fonction impulsion
récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h. Analyse d'un état
stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i. Corde
pincée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
j. Corde
frappée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
k. Composants électriques à caractéristique non
linéaire . . . .
2. Intégrales de
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Forme complexe transformées de
Fourier . . . . . . . . . . . . . .
b. Train
d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
c. Impulsion
rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Diffraction par une
fente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Signal de sortie d'un
amplificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Transformation d'un signal rectangulaire par un
ampli-vidéo
III.
PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES
DES SOLIDES ET DES LIQUIDES
Élasticité des
solides
1. Forces
normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
a. Allongement d'un barreau
métallique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Loi de
Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
c. Contraction
latérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d.
Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
2. Forces
tangentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
a. Définition du module de
rigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
c. Ressort à
boudin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d.
Flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
e. Fibre
neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
f.
Équation de la fibre
neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g. Conditions aux
limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h.
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
Propriétés dynamiques des
fluides
1. Écoulement
d'un fluide
parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Théorème de
Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
2. Phénomènes de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
a.
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
b. Expérience de
Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c.
Écoulement laminaire dans un tuyau
cylindrique . . . . . . . . .
d. Impédance acoustique du
tuyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Résistance à l'avancement d'un mobile en régime
laminaire
f. Dissipation d'énergie par
viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES
DE PROPAGATION A UNE DIMENSION
1. Équation
de
propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Intégrale
générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Relations scalaires et
vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Signification de
f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
d. Signification de
f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Vecteur
d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Propagation libre et régimes
stationnaires . . . . . . . . . . . . . .
2. Propagation dans un milieu
dispersif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Vitesse de
groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Application à la
lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Effet
Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
V.
PROPAGATION D'ONDES LONGITUDINALES
A UNE DIMENSION
Ondes planes dans les fluides
1. Mise en
équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
a.
Équation hydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Équation de
continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c.
Équation d'état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
d. Résolution dans le cas de l'approximation
acoustique . . . . .
2. L'onde sonore divergente
unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Énergie de l'onde plane
unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. L'onde réfléchie et ses
conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Calcul du coefficient de
réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Calcul de la fonction
f en tout
point . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Calcul de l'impédance en tout
point . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Cas
particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
e. Le taux d'ondes stationnaires dans le cas
général . . . . . . . . .
f. Mesure d'une
impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g. Diagrammes
d'impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Passage d'un tuyau dans un
autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Changement de
section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Changement de
milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Couche
antiréfléchissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Condition de
résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Cas
particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
Ondes à une varia e dans les tuyaux non
cylindriques
1. Mise en
équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
2. Onde conique ou
sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Onde divergente à grande distance du
centre . . . . . . . . . . . .
b. Déphasage de
p au passage par un
foyer . . . . . . . . . . . . . . .
c. Expérience de
Meslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Onde dans un pavillon
exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Étude d'un ébranlement
sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Étude des vitesses de
propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Fréquence de
coupure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Impédance
itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ondes planes dans un fluide
visqueux
1. Mise en
équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
2. Solution pour une vibration
sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ondes planes dans un barreau
solide
1. Mise en
équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
2. Propagation en milieu
infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.
PROPAGATION D'ONDES TRANSVERSALES
A UNE DIMENSION. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Ondes planes dans l'espace
libre
1. Lois de
l'électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Équations
de propagation en milieu
isolant . . . . . . . . . . . . . . .
3. Étude
de l'onde
plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Vitesse de
propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Impédance itérative et onde divergente
unique . . . . . . . . . . . .
6. Cas d'une onde
sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ondes planes dans un milieu
conducteur
1. Équation
de
propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Propagation d'une onde
plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Réflexion d'une onde plane sous l'incidence
normale . . . . . . .
4. Pression de
radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Approximation des fréquences
radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propagation d'une onde électromagnétique le long d'un
fil
1. Propriétés caractéristiques du
fil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Caractéristiques localisées ou
réparties . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Mise en équation de la
propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Étude des lignes sans pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
a. Impédance
itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Coefficient de réflexion et impédance en un
point . . . . . . . .
c.
Résonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
d. Taux d'ondes
stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Adaptation
d'impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Pertes par
rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g. Impédance d'un câble
coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Lignes avec pertes en régime
sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . .
Guides
d'ondes
1. Choix d'une solution
particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Vitesses de phase et de
groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Représentation par deux ondes planes
transversales . . . . . . . .
4. Interprétation de la fréquence de
coupure . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Vecteur champ
magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Généralisation de l'onde
TE01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Ondes
TH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
8. Choix pratique d'un mode de
propagation . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Couplage du guide avec
l'extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.
PROPAGATION D'ONDES TRANSVERSALES
A UNE DIMENSION. ONDES MÉCANIQUES
1. Cordes
vibrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
a.
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
b.
Équation du
mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Conditions de
résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Excitation d'une corde
vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Membranes
vibrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
b. Mise en équation d'un mouvement à symétrie
cylindrique
c.
États stationnaires en régime
sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Fréquences de
résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Forme de la
surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Vibrations transversales des
poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Mise en
équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Propagation de mouvements
sinusoïdaux . . . . . . . . . . . . . . .
c.
États stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
d.
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
4. Vibrations de
torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Mise en
équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
États stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c. Utilisation de la notion
d'impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.
PROPAGATION DANS UN MILIEU
A TROIS DIMENSIONS
Étude
de cavités
résonnantes
1. Calcul des fréquences et des modes de
résonance . . . . . . . . . .
a. Mise en
équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
Équation de propagation en F . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
c.
Étude des états
stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Forme de la fonction
propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e. Détermination des valeurs
propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f. Cas des ondes
électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Dénombrement des modes dans un intervalle de
fréquence . . .
a. Représentation
géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Dénombrement des
modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Cas des ondes
électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Applications des cavités
résonnantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Ondemètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
b.
Couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
c. Boîte
écho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
d.
Surtension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
4. Quelques applications physiques du dénombrement des
modes
a. Rayonnement du corps
noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Niveau de Fermi des électrons de
conduction . . . . . . . . . . .
c. Bruit d'agitation thermique dans une
résistance . . . . . . . . . .
Rayonnement des
antennes
1. Rappel des formules de
base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Potentiels
retardés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
3. Rayonnement d'une antenne de petites
dimensions . . . . . . . . . .
4. Structures de l'onde à longue
distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Résistance de
rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Antenne de dimension non négligeable par rapport à
l . . . . . .
7. Rayonnement d'une antenne doublet
accordé . . . . . . . . . . . . . .
8. Gain d'une
antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Antenne
réceptrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
10. Équation du Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
IX.
PHÉNOMÈNES DE DIFFUSION
Transfert de chaleur en régime
permanent
1.
Conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
a. Loi
élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
b.
Unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
c. Généralisation de la loi
élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d. Mécanisme physique de la
conduction . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Convection
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
a. Problème du
mur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Problème de la
barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diffusion de la
chaleur
1. Loi
fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
2. Attaque
thermique sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Solution
générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
4. Solution dans le cas d'une
dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Cas d'un choc thermique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diffusion de particules. Exemple des neutrons
thermiques
1. Quelques
définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Neutrons diffusés par une surface
DS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Équation
de
diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Établissement de
l'équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Régime stationnaire dans un milieu non
multiplicateur . . . .
c. Régime variable
dans un milieu non multiplicateur et non
absorbant . . . . . . .
d. Régime stationnaire dans un milieu
multiplicateur . . . . . . . .
4. Cas des molécules d'un
gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le mouvement
brownien
Appendice
BIBLIOGRAPHIE
GÉNÉRALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
